A SEMCONGER está desenvolvendo um sistema de geração de senhas numéricas únicas para autenticação de servidores. O objetivo é gerar números de seis dígitos utilizando exclusivamente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, com as seguintes condições: • Os dígitos 1 e 2 não podem ocupar posições adjacentes; • Os dígitos 3 e 4 devem estar sempre adjacentes. Quantas combinações distintas de senhas podem ser geradas com essas regras?
- A)144.
Correta: após contar todas as senhas com 3 e 4 juntos e excluir as que têm 1 e 2 adjacentes, o total é 144.
- B)180.
Errada: esse valor geralmente aparece quando você esquece de retirar os casos em que 1 e 2 ficam lado a lado.
- C)240.
Errada: essa contagem costuma surgir de uma montagem parcial, sem aplicar corretamente uma das restrições.
- D)286.
Errada: é um valor compatível com uma contagem superestimada, normalmente quando se trata só uma parte das condições.
Gabarito: A
Aqui a ideia é combinar duas regras ao mesmo tempo, então vale organizar o problema em etapas. Primeiro, os dígitos 3 e 4 precisam ficar juntos, então você pode tratá-los como um bloco único, que pode aparecer como 34 ou 43. Isso já reduz a bagunça e deixa a contagem mais limpa. Se você junta 3 e 4 em um bloco, sobra montar uma sequência com 5 elementos: o bloco (34/43), e os dígitos 1, 2, 5 e 6. Sem a restrição de 1 e 2, haveria 5! arranjos para esses elementos, e ainda 2 maneiras de ordenar o bloco 3-4. Até aqui, a contagem seria 5! x 2. Agora entra a regra chata, porém decisiva: 1 e 2 não podem ficar lado a lado. Então precisamos subtrair os casos em que 1 e 2 aparecem adjacentes. Para isso, tratamos 1 e 2 como outro bloco. Assim, teríamos 4 elementos para permutar: o bloco 12, o bloco 34, e os dígitos 5 e 6. Isso gera 4! arranjos, e cada bloco pode ser ordenado de 2 formas. Logo, os casos proibidos são 4! x 2 x 2. Fazendo a conta final: 5! x 2 - 4! x 4 = 240 - 96 = 144. Portanto, o gabarito A está correto. É o clássico da análise combinatória: agrupa o que deve ficar junto, elimina o que não pode ficar junto, e a conta aparece sem drama.