Durante um estudo de estatísticas em grupos, foram utilizados modelos matemáticos representados por polinômios. Considere o polinômio x3 + px2 + qx + 8, com coeficientes reais, que é divisível por x2 + x + 2. O valor da soma p + q é:
- A)7.
Errada, porque a comparação dos coeficientes leva a p + q = 11, e não 7.
- B)11.
Certa, pois ao fatorar o polinômio como (x^2 + x + 2)(x + 4), obtemos p = 5 e q = 6.
- C)14.
Errada, pois 14 não corresponde à soma dos coeficientes encontrados pela divisão exata.
- D)15.
Errada, porque 15 não aparece na comparação correta entre os termos do produto e do polinômio dado.
Gabarito: B
Quando um polinômio é divisível por outro, a ideia é que a divisão dê resto zero. Aqui, como o divisor é x^2 + x + 2 e o polinômio tem grau 3, o quociente precisa ser de 1 grau. Então podemos escrever o polinômio como (x^2 + x + 2)(x + a). Agora é só desenvolver com calma: (x^2 + x + 2)(x + a) = x^3 + (a + 1)x^2 + (a + 2)x + 2a. Comparando com x^3 + px^2 + qx + 8, temos 2a = 8, logo a = 4. Substituindo esse valor, vem p = a + 1 = 5 e q = a + 2 = 6. Portanto, p + q = 11. É o tipo de questão que parece “de polinômio misterioso”, mas no fundo é só comparação de coeficientes, sem drama e sem magia. Assim, o gabarito correto é a alternativa B.