O dono da loja de materiais de construção “Casa Forte” reparou que a arrecadação diária da loja em um mês pode ser representada pela função polinomial do 2º grau A(d) = –x2 + 20x – 75, onde os valores de “d” são os dias do mês e “A(d)” as respectivas arrecadações obtidas nos dias. O dono interpretou a função da seguinte maneira: A(d) > 0; A loja obteve lucro. A(d) = 0; A loja não obteve lucro nem prejuízo. A(d) < 0; A loja obteve prejuízo. Podemos afirmar que o número de dias do mês em que a loja obteve lucro é:
- A)7 dias.
Errada, porque 7 dias não corresponde à quantidade de valores inteiros entre as raízes da função.
- B)9 dias.
Certa, pois a função é positiva entre 5 e 15, o que dá 9 dias inteiros de lucro.
- C)15 dias.
Errada, porque 15 é o número de dias do intervalo entre as raízes, não a quantidade de dias com A(d) > 0.
- D)23 dias.
Errada, pois 23 dias excede o intervalo em que a parábola fica acima de zero.
Gabarito: B
Aqui a ideia é simples: para descobrir em quais dias houve lucro, basta olhar quando a função A(d) fica positiva, ou seja, quando A(d) > 0. A expressão dada é A(d) = -d^2 + 20d - 75, uma parábola com concavidade para baixo, então ela fica acima do eixo horizontal apenas entre suas raízes. Vamos achar essas raízes resolvendo -d^2 + 20d - 75 = 0. Multiplicando por -1, fica d^2 - 20d + 75 = 0. O discriminante é Δ = 20^2 - 4·1·75 = 400 - 300 = 100. Então as raízes são d = (20 ± 10)/2, isto é, d = 5 e d = 15. Como a parábola abre para baixo, a função é positiva entre 5 e 15. Como os dias do mês são valores inteiros, os dias com lucro são 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 e 14. Contando, dá 9 dias. Portanto, o gabarito correto é a alternativa B. Em vestibulares e concursos, esse tipo de questão costuma cobrar mais leitura de gráfico algébrico do que conta difícil: achar as raízes e ver onde a parábola fica acima de zero já resolve a vida.