Durante a aula de geometria, o professor explicou aos alunos o significado dos ternos pitagóricos. Os ternos pitagóricos são sequências de números naturais que representam a medida dos lados de um triângulo retângulo. Como exemplo, o professor usou um triângulo com 36 cm de perímetro sendo que seus lados são um terno pitagórico e formam uma progressão aritimética crescente (l1; l2; l3 ) de razão 3. A área em cm² do triângulo utilizado como exemplo pelo professor é igual a:
- A)54 cm².
Correta, porque os lados são 9, 12 e 15 e a área do triângulo retângulo fica 9 vezes 12 dividido por 2, resultando em 54 cm².
- B)90 cm².
Errada, pois 90 cm² não corresponde à área obtida com os catetos do triângulo encontrado.
- C)108 cm².
Errada, já que 108 cm² é maior do que a área calculada a partir dos lados 9 e 12.
- D)180 cm².
Errada, porque 180 cm² não faz sentido para esse triângulo e costuma aparecer quando se erra a conta da área ou do perímetro.
Gabarito: A
Quando um triângulo retângulo tem lados em progressão aritmética, isso já acende a luz de "terno pitagórico": os lados precisam obedecer ao famoso teorema de Pitágoras. Aqui, como a razão é 3, os lados podem ser escritos como (x - 3), x e (x + 3), sendo o maior deles a hipotenusa. O perímetro é 36 cm, então fazemos a soma: (x - 3) + x + (x + 3) = 36. Os 3 somem numa boa e fica 3x = 36, logo x = 12. Assim, os lados do triângulo são 9, 12 e 15. Agora vem a parte clássica: em triângulo retângulo, a área é dada por base vezes altura dividido por 2. Usando os catetos 9 e 12, temos A = (9 × 12)/2 = 54 cm². Isso confirma o gabarito A. Aliás, o trio 9, 12 e 15 é um terno pitagórico bem conhecido, pois 9² + 12² = 15², então tudo fecha certinho.