O dono de uma fábrica de brinquedos identificou que o custo para fabricar cada unidade de sua nova boneca dependeria da quantidade produzida. Durante vários dias, ele observou e anotou como o custo variava em razão da quantidade produzida e, como não era muito bom com cálculos, contratou um especialista para identificar uma equação que pudesse prever a quantidade que deveria ser produzida para que gerasse o menor custo possível. O especialista identificou que o custo de produção varia em relação à quantidade de peças produzidas conforme a função: P = x 2 – 36x + 400, sendo P o custo em reais para a produção de uma unidade da boneca e x a quantidade de unidades produzidas no dia. Se em determinado dia forem produzidas 16 unidades de bonecas, pode- -se determinar pela equação que a maior quantidade que deverá ser produzida para um mesmo custo unitário é de:
- A)17 unidades.
Errada, porque 17 não gera o mesmo custo de 16 unidades nessa função quadrática.
- B)18 unidades.
Errada, porque 18 é o eixo de simetria da parábola, mas não é a outra quantidade com o mesmo custo de 16.
- C)19 unidades.
Errada, porque 19 não satisfaz a igualdade P(x) = P(16).
- D)20 unidades.
Certa, porque P(16) = 80 e a equação P(x) = 80 tem soluções 16 e 20, sendo 20 a maior quantidade.
Gabarito: D
Quando a função aparece em forma quadrática, tipo P = x² - 36x + 400, a gente está lidando com uma parábola. Nesse tipo de situação, é comum existir um valor de x que minimiza o custo, e a partir dele os valores se repetem de forma simétrica. Aqui, o objetivo não é achar o menor custo geral, mas descobrir outra quantidade que dê o mesmo custo unitário de 16 unidades produzidas. Primeiro, calcule o custo quando x = 16: P(16) = 16² - 36(16) + 400 = 256 - 576 + 400 = 80. Então precisamos achar quais valores de x geram P = 80. Basta igualar a função a 80: x² - 36x + 400 = 80. Fazendo a conta, fica x² - 36x + 320 = 0. Resolvendo a equação do 2º grau, temos discriminante Δ = 36² - 4·1·320 = 1296 - 1280 = 16. As raízes são x = (36 ± 4)/2, isto é, x = 16 e x = 20. Como a questão pede a maior quantidade, a resposta é 20 unidades. O raciocínio é bem típico de função quadrática: mesmo custo, dois valores possíveis, e você escolhe o maior deles. Nada de susto, só a parábola fazendo parzinho de valores.