Em uma atividade de geometria, a professora desenhou no chão do pátio da escola um polígono regular e pediu aos alunos que contassem quantas diagonais havia nessa figura. Ao final da atividade, os alunos constataram que havia um total de 27 diagonais no polígono e, então, a professora afirmou que, com base no número de diagonais de um polígono, é possível determinar de qual figura se trata. Nesse caso, após a contagem das 27 diagonais, foi possível concluir corretamente que o polígono desenhado pela professora se trata de um:
- A)Octógono.
Errada, porque um octógono tem 8 lados e, pela fórmula, 8(8 - 3)/2 = 20 diagonais, não 27.
- B)Eneágono,
Certa, porque 9(9 - 3)/2 = 27, então o polígono com 27 diagonais é um eneágono.
- C)Decágono.
Errada, porque um decágono tem 10 lados e possui 10(10 - 3)/2 = 35 diagonais.
- D)Dodecágono.
Errada, porque um dodecágono tem 12 lados e possui 12(12 - 3)/2 = 54 diagonais.
Gabarito: B
Em polígonos, uma diagonal é o segmento que liga dois vértices que não são vizinhos. Parece detalhe pequeno, mas é exatamente esse detalhe que manda na conta. Se você ligar vértice com vértice sem passar pelos lados, você está desenhando uma diagonal. A fórmula que resolve esse tipo de questão é bem conhecida: número de diagonais = n(n - 3)/2, em que n é o número de lados do polígono. Ela funciona porque, de cada vértice, você não pode ligar a si mesmo nem aos dois vizinhos, então sobram n - 3 possibilidades por vértice, e depois divide-se por 2 para não contar tudo em dobro. Aqui, o enunciado diz que o polígono tem 27 diagonais. Então: n(n - 3)/2 = 27. Fazendo a conta, temos n(n - 3) = 54, ou seja, n^2 - 3n - 54 = 0. As raízes são 9 e -6, mas número de lados não pode ser negativo, então n = 9. Logo, o polígono é um eneágono, que é um polígono de 9 lados. Em termos de concurso, quando a banca dá o número de diagonais e pede a figura, a ideia é sempre esta: aplicar a fórmula e traduzir o resultado para o nome do polígono.