O avô de Bruna é um professor de matemática aposentado e lançou à neta um desafio – descobrir a idade do avô com a seguinte dica: “Minha idade é o menor número inteiro que pode ser dividido por 4, por 7 ou por 3, deixando, em todas essas divisões, resto 2.” Bruna, por ser muito inteligente, afirmou corretamente que o produto dos algarismos que compõe a idade de seu avô vale:
- A)32
Errada, porque 32 não deixa resto 2 ao ser dividido por 7.
- B)36
Errada, porque 36 não deixa resto 2 ao ser dividido por 4 nem por 7.
- C)42
Errada, porque 42 não deixa resto 2 ao ser dividido por 4.
- D)48
Certa, pois a idade é 86 e o produto dos algarismos é 8 × 6 = 48.
Gabarito: D
Aqui a ideia é enxergar o problema como um sistema de congruências: a idade deixa resto 2 quando dividida por 4, por 7 e por 3. Isso significa que, ao tirar 2 da idade, o resultado precisa ser múltiplo de 4, de 7 e de 3 ao mesmo tempo. Quando isso acontece, você procura o mínimo múltiplo comum desses divisores. Como 4, 7 e 3 são números coprimos entre si, o mmc deles é 84. Então a idade tem a forma 84k + 2. Agora vem o detalhe prático: como estamos falando da idade de uma pessoa, o menor valor plausível acima de 2 é 86. Testando 86, dá certinho: 86 ÷ 4 deixa resto 2, 86 ÷ 7 deixa resto 2 e 86 ÷ 3 também deixa resto 2. Então a idade do avô é 86 anos. Por fim, o produto dos algarismos de 86 é 8 × 6 = 48. É por isso que o gabarito é a alternativa D. Esse tipo de questão costuma explorar bem a ideia de resto fixo e mmc, uma combinação clássica em provas de Matemática.