Em uma empresa, existem 12 colaboradores interessados em participar de uma comissão de auditoria. Esta comissão deve ter, no mínimo, 3 e, no máximo, 8 colaboradores, todos com a mesma função. De quantas maneiras distintas esta comissão poderá ser formada com os 12 interessados?
- A)924
Errada, porque 924 corresponde apenas a C(12,6), ou seja, a comissao com 6 membros, e o problema pede de 3 a 8 membros.
- B)3.498
Errada, porque 3.498 nao resulta da soma das combinacoes de 3 a 8 colaboradores; parece um erro de calculo ou de contagem parcial.
- C)3.718
Certa, pois a soma de C(12,3) a C(12,8) e 220 + 495 + 792 + 924 + 792 + 495 = 3.718.
- D)4.096
Errada, porque 4.096 e o total de subconjuntos de 12 pessoas (2^12), incluindo comissoes de qualquer tamanho, e aqui so valem tamanhos de 3 a 8.
Gabarito: C
Aqui a ideia é simples: escolher uma comissão é um problema de combinatoria, mais especificamente de combinacoes, porque a ordem dos colaboradores nao importa. Se voce troca a posicao de duas pessoas na lista, a comissao continua sendo a mesma. Entao, para cada tamanho possivel da comissao, voce conta quantas formacoes existem e soma tudo no final. Como a comissao deve ter de 3 a 8 colaboradores, precisamos calcular C(12,3) + C(12,4) + C(12,5) + C(12,6) + C(12,7) + C(12,8). Fazendo as contas, temos 220 + 495 + 792 + 924 + 792 + 495. Somando, resulta em 3.718 maneiras. O truque aqui e nao esquecer que a faixa vai de 3 ate 8, entao nao basta olhar so para um unico valor de n ou usar o total 2^12 sem filtrar os tamanhos proibidos. A conta certa leva exatamente ao gabarito C. Em resumo: combinacao para cada quantidade possivel, soma de todas as possibilidades validas, resposta final 3.718.