Se M é uma matriz quadrada de ordem 2 e N uma matriz quadrada de ordem 3, tal que 2 ∙ det M + det N = –1, então o valor de det (4M) + det (2N) é:
- A)–1
Errada, porque o cálculo correto usa as ordens 2 e 3 das matrizes, levando a um resultado diferente de -1.
- B)–2
Errada, pois a propriedade do determinante em matriz escalada exige elevar o fator à ordem da matriz.
- C)–6
Errada, já que a expressão pode ser fatorada como 8(2det(M) + det(N)), e isso não resulta em -6.
- D)–8
Certa, porque det(4M) = 16det(M) e det(2N) = 8det(N), então a soma vira 8(2det(M) + det(N)) = 8(-1) = -8.
Gabarito: D
Quando voce multiplica uma matriz por um numero, o determinante nao cresce de qualquer jeito: ele acompanha a ordem da matriz. Em uma matriz 2x2, vale det(kM) = k^2.det(M). Em uma matriz 3x3, vale det(kN) = k^3.det(N). Esse detalhe costuma aparecer em prova como uma armadilha elegante, quase um cafezinho matematico com pegadinha. Aqui, como M é de ordem 2, temos det(4M) = 4^2.det(M) = 16det(M). Já N é de ordem 3, então det(2N) = 2^3.det(N) = 8det(N). Somando, fica det(4M) + det(2N) = 16det(M) + 8det(N). Agora entra a informação dada no enunciado: 2det(M) + det(N) = -1. Se voce colocar 8 em evidência, percebe que 16det(M) + 8det(N) = 8[2det(M) + det(N)]. Ou seja, a expressão toda vira 8.(-1). Logo, o valor pedido é -8. Por isso o gabarito é a letra D. A ideia central aqui é simples: o determinante “absorve” o fator k elevado à ordem da matriz, e a banca gosta de testar se voce lembra dessa regra sem tropeçar no grau da matriz.