Se tg(θ) = √5 e 0 ≤ θ < π/2, então o valor de cos(3θ) deverá ser igual a
- A)√5/3.
Errada, porque √5/3 não corresponde ao valor de cos(3θ) obtido pelas identidades trigonométricas.
- B)√30/6.
Errada, pois √30/6 é um valor positivo e não bate com o resultado do cosseno de 3θ neste caso.
- C)-1.
Errada, porque cos(3θ) não é -1 aqui; esse valor só aparece em situações específicas de ângulos notáveis.
- D)-7√6/18.
Certa, pois ao usar tg(θ)=√5 e a fórmula de cos(3θ), o resultado é -7√6/18.
- E)-2/3.
Errada, porque -2/3 não é o valor correto após aplicar a identidade do ângulo triplo.
Gabarito: D
Quando você conhece a tangente de um ângulo, dá para reconstruir seno e cosseno com um triângulo retângulo ou com identidades trigonométricas. Aqui, como tg(θ) = √5 e 0 ≤ θ < π/2, o ângulo está no 1º quadrante, então seno e cosseno são positivos. Pense em cateto oposto = √5 e cateto adjacente = 1, o que dá hipotenusa √6. Assim, cos(θ) = 1/√6. Para calcular cos(3θ), a fórmula mais prática é cos(3θ) = 4cos^3(θ) - 3cos(θ). Substituindo cos(θ) = 1/√6, vem: cos(3θ) = 4(1/√6)^3 - 3(1/√6). Fazendo as contas, isso resulta em -7/(3√6), que racionalizando vira -7√6/18. Ou seja, o gabarito D está correto porque o valor de 3θ leva a um cosseno negativo, o que combina com o resultado final. É aquele tipo de questão em que a banca quer ver se você sabe sair da tangente e usar a identidade do ângulo triplo sem pânico. Aqui, tranquilidade matemática vence correria.