Considere um triângulo ΔABC, em que ∠BAC = 135º e ∠ABC = 15º. Nesse caso, se = 2 cm, então o comprimento da aresta AC é igual a
- A)√6 - √2 cm.
Correta: pela Lei dos Senos, com AB = 2 oposto a 30º e AC oposto a 15º, resulta AC = 4 sen 15º = √6 - √2.
- B)√3/2 cm.
Errada: √3/2 não corresponde ao comprimento obtido pela relação entre os lados e os senos dos ângulos do triângulo.
- C)1/√2 cm.
Errada: 1/√2 não sai da aplicação da Lei dos Senos neste triângulo e nem bate com a forma exata do lado AC.
- D)1/2 cm.
Errada: 1/2 é apenas o valor de sen 30º, não o comprimento do lado AC.
- E)√6 +√2 cm.
Errada: √6 + √2 aparece como sinal trocado na identidade de sen 15º; aqui o correto é a diferença, não a soma.
Gabarito: A
Aqui a jogada é usar a Lei dos Senos, que é a ferramenta clássica quando o problema dá ângulos e um lado de um triângulo. Ela diz que os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos: a/sen A = b/sen B = c/sen C. No triângulo, você tem A = 135º e B = 15º, então o terceiro ângulo é C = 30º. O enunciado informa que AB = 2 cm, e o lado AB fica oposto ao ângulo C. Então fazemos 2/sen 30º = AC/sen 15º. Como sen 30º = 1/2, o quociente 2/(1/2) = 4. Assim, AC = 4 sen 15º. Agora entra a identidade famosa: sen 15º = (√6 - √2)/4. Substituindo, AC = 4 · (√6 - √2)/4 = √6 - √2 cm. Então o gabarito é a letra A. A conta é curta, mas a banca gosta de ver se você lembra quem está oposto a quem no triângulo; esse é o detalhe que derruba muita gente.