Considerando os quatro primeiros monômios da expansão de (1 + x)10 pelo binômio de Newton, assinale a opção que apresenta a aproximação obtida até a segunda casa decimal para 1,110.
- A)2,57
Correta, pois ao substituir x = 0,1 nos quatro primeiros termos de (1 + x)^10 obtém-se 1 + 1 + 0,45 + 0,12 = 2,57.
- B)2,45
Incorreta, porque 2,45 não resulta da soma dos quatro primeiros monômios da expansão para x = 0,1.
- C)2,04
Incorreta, pois 2,04 fica abaixo do valor obtido ao considerar os termos iniciais do binômio.
- D)1,46
Incorreta, porque 1,46 não corresponde à aproximação dada pelos quatro primeiros termos da expansão.
- E)1,11
Incorreta, já que 1,11 é muito distante da soma dos primeiros monômios para (1 + 0,1)^10.
Gabarito: A
O binômio de Newton permite expandir potências do tipo (1 + x)^n sem fazer multiplicação repetida. Aqui, basta olhar os primeiros termos da expansão de (1 + x)^10: 1 + 10x + 45x^2 + 120x^3 + ... Como queremos 1,1^10, reescrevemos como (1 + 0,1)^10. Agora é só substituir x = 0,1 nos quatro primeiros monômios: 1 + 10(0,1) + 45(0,1)^2 + 120(0,1)^3. Fazendo as contas, fica 1 + 1 + 0,45 + 0,12 = 2,57. Como o enunciado pede a aproximação até a segunda casa decimal, esse é o valor a marcar. A ideia é justamente essa: quando x é pequeno, os primeiros termos já dão uma boa aproximação. Então, neste caso, o gabarito A está correto porque a expansão truncada produz 2,57, que coincide com a aproximação pedida.