Duas circunferências A e B de raios iguais a 4 cm e 1 cm, respectivamente, são tangentes entre si. A reta r é tangente às circunferências A e B nos pontos P e Q, respectivamente. Com base nas informações apresentadas, assinale a opção que corresponde à distância entre o ponto P e o centro da circunferência B.
- A)3 cm
Errada, porque 3 cm é apenas a diferença entre as distâncias dos centros à reta tangente, não a distância pedida.
- B)4 cm
Errada, porque 4 cm aparece como raio da circunferência A, mas não corresponde à distância de P ao centro de B.
- C)5 cm
Errada, porque 5 cm é a distância entre os centros das circunferências, e não entre P e o centro de B.
- D)4√2 cm
Errada, porque 4√2 cm não resulta da relação pitagórica do desenho e supera a medida correta.
- E)√17 cm
Certa, pois a distância entre P e o centro de B é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos 4 cm e 1 cm, logo PB = sqrt(17) cm.
Gabarito: E
Quando duas circunferências são tangentes a uma mesma reta, o raio até o ponto de tangência fica perpendicular à reta. Aqui, o centro de A está a 4 cm da reta r, e o centro de B está a 1 cm dela. Como as circunferências também são tangentes entre si, a distância entre os centros é a soma dos raios: 4 + 1 = 5 cm. Agora vem a parte mais bonita, e a banca adora esse pequeno truque: se você olhar o triângulo formado pelo ponto P, pelo centro de A e pelo centro de B, vai perceber que ele é retângulo em P, porque AP é raio e é perpendicular à reta r. A diferença vertical entre os centros é 4 - 1 = 3 cm. Então, com hipotenusa 5 e um cateto 3, o outro cateto vale 4, pelo trio pitagórico 3-4-5. Esse cateto é justamente a distância horizontal entre o ponto P e o centro de B. Aplicando Pitágoras no triângulo formado por P e o centro de B, você obtém PB = sqrt(4^2 + 1^2) = sqrt(17). Logo, a distância pedida é sqrt(17) cm, que corresponde à alternativa E. Em Geometria Plana, esse tipo de questão é o clássico combo: tangência, perpendicularidade e Pitágoras. Sem mistério, só organização.