Se t = tg (x/2), então o valor de cosec(x) - cotg(x) em função de t é igual a
- A)1/t.
Errada, porque 1/t é o inverso de t, mas a simplificação da expressão trigonométrica não leva a isso.
- B)1-t/1+t.
Errada, porque a fração proposta não aparece na redução de csc(x) - cotg(x) com a substituição de meia-ângulo.
- C)t.
Certa, pois csc(x) - cotg(x) = (1 - cos(x))/sen(x) e, usando t = tg(x/2), o resultado simplifica para t.
- D)2t/1+t2.
Errada, porque 2t/(1+t^2) é a forma de sen(x), não da expressão pedida.
- E)1-t2/1+t2.
Errada, porque essa é uma forma típica de cos(x) em função de t, mas não corresponde à diferença csc(x) - cotg(x).
Gabarito: C
Aqui a ideia é usar a identidade de meia-ângulo, que é uma das queridinhas da trigonometria. Se t = tg(x/2), então você pode escrever seno e cosseno de x em função de t: sen(x) = 2t/(1+t^2) e cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2). Isso costuma destravar expressões que parecem “fechadas” demais para sair no braço. Agora observe a expressão pedida: cosec(x) - cotg(x) = 1/sen(x) - cos(x)/sen(x) = (1 - cos(x))/sen(x). Essa simplificação já deixa tudo mais bonito, porque você troca duas funções por uma fração só. Substituindo as fórmulas de meia-ângulo, fica: (1 - (1-t^2)/(1+t^2)) / (2t/(1+t^2)). No numerador, sobra 2t^2/(1+t^2). Dividindo por 2t/(1+t^2), o resultado é t. Então o gabarito é a alternativa C. Ou seja: a expressão inteira “se comporta” exatamente como t. É aquele tipo de questão em que a banca testa se você reconhece a identidade certa antes de começar a sofrer sem necessidade.