Considere que o pentágono P tenha sido inscrito em uma circunferência de raio R, e que o pentágono Q seja formado pelos pontos médios dos lados consecutivos de P. Nessa situação, se Q fosse inscrito em uma circunferência, o raio desta circunferência seria igual a
- A)R/2.
Errada, porque o raio da circunferencia dos pontos medios nao fica pela metade do raio original.
- B)R - Rcos(36º).
Errada, pois R - R cos(36°) e a diferenca entre o raio e a projecao, nao o raio da nova circunferencia.
- C)R sen(36º).
Errada, porque R sen(36°) corresponde a outra projeção do triangulo, nao a distancia dos pontos medios ao centro.
- D)R sen(54º).
Certa, pois o raio da circunferencia que passa pelos pontos medios e R cos(36°), que e igual a R sen(54°).
- E)R cos(54º).
Errada, porque R cos(54°) = R sen(36°), valor que nao corresponde a distancia correta dos pontos medios ao centro.
Gabarito: D
Aqui a ideia central e bem bonita: em um pentagono regular inscrito em uma circunferencia de raio R, os lados sao cordas iguais. Quando voce marca os pontos medios desses lados consecutivos, os novos pontos formam outro pentagono regular, menor e com o mesmo centro da figura original. O ponto chave e a distancia do centro da circunferencia ate o ponto medio de uma corda. Se o raio ate os vertices e R, e o angulo central do pentagono regular e 72°, entao metade desse angulo e 36°. No triangulo retangulo formado pelo raio, pela metade da corda e pela perpendicular ao lado, a distancia do centro ao ponto medio vale R cos(36°). Como os pontos medios ficam todos na mesma distancia do centro, eles sao inscritos numa circunferencia de raio R cos(36°). E como cos(36°) = sen(54°), a alternativa correta e a D. Resumo de prova: midpoint de lado em poligono regular inscrito leva a raio menor igual ao apotema do triangulo associado, aqui R cos(36°) = R sen(54°).