Uma fila será formada por 4 homens e 4 mulheres. Assinale a opção que apresenta o número de maneiras possíveis de se organizar essa fila tal que as pessoas de sexo oposto fiquem intercaladas.
- A)70
Errada: 70 não corresponde ao número de arranjos possíveis com alternância de 4 homens e 4 mulheres.
- B)576
Errada: 576 é apenas o total para um dos dois padrões de alternância, sem considerar a outra forma de شروع da fila.
- C)1.152
Certa: há 2 padrões de alternância e, em cada um, 4! maneiras de organizar os homens e 4! as mulheres, totalizando 2 x 4! x 4! = 1.152.
- D)1.680
Errada: 1.680 não surge da contagem correta da alternância entre os sexos.
- E)40.320
Errada: 40.320 é 8!, que conta qualquer fila, sem impor a condição de intercalar os sexos.
Gabarito: C
Quando a questão pede pessoas de sexos opostos intercaladas, o segredo é pensar em um padrão de posições. Com 4 homens e 4 mulheres, existem apenas dois jeitos de organizar a alternância: começar com homem ou começar com mulher. Depois disso, basta permutar os homens entre si e as mulheres entre si dentro das vagas reservadas. Em cada padrão, os 4 homens podem ser distribuídos em 4! formas e as 4 mulheres também em 4! formas. Então, para um padrão, temos 4! x 4! = 24 x 24 = 576 maneiras. Como há 2 padrões possíveis de alternância, multiplicamos por 2. Assim, o total é 2 x 576 = 1.152 maneiras. É exatamente por isso que o gabarito é a letra C: a banca quer que você enxergue a alternância primeiro e só depois faça as permutações internas. Uma boa regra prática: quando a organização depende de um padrão fixo, conte primeiro os arranjos do padrão e depois as permutações dos elementos em cada bloco. Aqui, o padrão é o “xadrez humano” da fila, sem espaço para improviso.