Acerca das operações entre números irracionais, julgue os itens a seguir, considerando que a e b sejam números irracionais (I) distintos. I Se c = a + b, então, para todo a e b ∈ I, c é irracional. II Se c = a x b, então, para todo a e b ∈ I, c é irracional. III Se c = an, sendo n um número natural (N), então, para todo a ∈ I e para todo n ∈ N, c é irracional. Assinale a opção correta.
- A)Apenas o item I está certo.
Errada, porque a soma de dois irracionais pode ser racional, como ocorre com \u221a2 e -\u221a2.
- B)Apenas o item II está certo.
Errada, porque o produto de dois irracionais pode ser racional, como \u221a2 \u00d7 \u221a2 = 2.
- C)Apenas o item III está certo.
Errada, porque uma potência de irracional com expoente natural pode ser racional, como (\u221a2)^2 = 2.
- D)Apenas os itens I e II estão certos.
Errada, porque os itens I e II também falham, já que ambos admitem contraexemplos com resultado racional.
- E)Nenhum item está certo.
Certa, porque os três itens trazem generalizações falsas: soma, produto e potência de irracionais não garantem resultado irracional.
Gabarito: E
Nem toda operação entre irracionais continua irracional. Esse é o ponto central da questão: irracionais não formam um conjunto fechado para soma, produto ou potenciação. Em outras palavras, o fato de dois números serem irracionais não garante que o resultado também seja irracional. Veja a ideia por trás de cada item. Na soma, pode acontecer de dois irracionais se cancelarem e dar um racional, como \u221a2 + (2 - \u221a2) = 2, mas esse exemplo usa um racional no meio. Mais direto: \u221a2 + (\u22121\u221a2) = 0, e 0 é racional, mostrando que a afirmação universal falha. No produto, também há contraexemplo clássico: \u221a2 \u00d7 \u221a2 = 2, que é racional. Ou seja, produto de irracionais pode ser racional. Na potenciação, o erro é parecido: se a for irracional e n natural, a^n não precisa ser irracional. Basta pensar em a = \u221a2 e n = 2, que resulta em 2, racional. Então a afirmação também não se sustenta. Resumo de prova: sempre desconfie de frases do tipo "para todo" quando a banca fala de irracionais. CESPE gosta dessa armadilha de generalização. Como basta um contraexemplo para derrubar a universalidade, os três itens caem. Em linguagem de concurso: não existe fechamento do conjunto dos irracionais para essas operações, então o gabarito é E.