Em um terreno quadrado de lado x ∈ ℕ, será construída uma edificação que ocupará uma área, também quadrada, de lado y ∈ ℕ. Uma área de 2.929 m2 do terreno não será ocupada por construção. Nessa situação, a área total do terreno é
- A)3.770 m2 .
Errada, porque 3.770 m² não é quadrado perfeito e não pode ser a área total x² do terreno.
- B)4.225 m2 .
Certa, pois 4.225 = 65² e satisfaz a diferença 65² - 36² = 2.929.
- C)5.521 m2 .
Errada, porque 5.521 m² = 74², mas não produz diferença de 2.929 com outro quadrado inteiro menor.
- D)7.154 m2 .
Errada, porque 7.154 m² não é quadrado perfeito, então não pode ser a área x² do terreno.
- E)10.201 m2 .
Errada, porque 10.201 m² = 101², e isso não corresponde à decomposição correta da diferença dada.
Gabarito: B
Quando aparece diferença de áreas entre dois quadrados, a primeira ideia é usar a identidade notável: x² - y² = (x - y)(x + y). Isso transforma um problema geométrico em uma conta de fatoração, que é exatamente o tipo de atalho que costuma salvar tempo em prova. Aqui, a área não ocupada é 2.929 m², então temos x² - y² = 2.929. Como 2.929 é ímpar, os dois fatores também precisam ser ímpares. Testando as decomposições de 2.929, a que funciona bem é 29 × 101, pois gera x - y = 29 e x + y = 101. Somando as duas equações, 2x = 130, logo x = 65. Então a área total do terreno é x² = 65² = 4.225 m². Pronto: o terreno é grande, mas a conta é elegante - e sem susto de geometria espacial fantasiada de aritmética. Portanto, o gabarito B está correto.