Em uma investigação criminal, um perito verificou, quando da sua chegada, às 12 h 30 min, que a temperatura de um corpo era de 32 °C. Uma hora depois, ao repetir a medição, verificou que a temperatura desse mesmo corpo era de 30 °C. A partir dessa situação hipotética, e considerando que a temperatura ambiente era de 22 °C e que a função que modela a variação da temperatura corporal T (t) em função do tempo t, em horas, seja dada na forma mostrada a seguir, em que TA é a temperatura ambiente, T1, a temperatura inicial medida pelo perito, e k, uma constante positiva, assinale a opção que corresponde ao horário em que a temperatura do corpo em questão era de 34,5 °C. T (t) = TA + ( T1 - TA ) (4/5) kt
- A)11 h 15 min
Errada, porque 11 h 15 min corresponderia a um intervalo de 1 h 15 min antes da medição inicial, e o cálculo da exponencial não leva a esse valor.
- B)11 h 30 min
Certa, pois a temperatura de 34,5 °C ocorre 1 hora antes das 12 h 30 min, isto é, às 11 h 30 min.
- C)11 h 45 min
Errada, porque 11 h 45 min está apenas 45 minutos antes da chegada e não satisfaz a equação do modelo.
- D)12 h 00 min
Errada, pois 12 h 00 min fica 30 minutos antes da medição inicial e a função não atinge 34,5 °C nesse horário.
- E)12 h 15 min
Errada, porque 12 h 15 min está 15 minutos antes da chegada e ainda não corresponde ao valor pedido pela função.
Gabarito: B
Aqui a ideia é uma função exponencial de resfriamento, ou seja, a temperatura do corpo vai se aproximando da temperatura ambiente, que é 22 °C. O modelo dado é T(t) = T_A + (T_1 - T_A)(4/5)^{kt}, e isso mostra um decaimento porque a base 4/5 é menor que 1. Em questões assim, o primeiro passo é sempre usar os dados conhecidos para achar a constante k, sem drama e sem chute. No instante da chegada, t = 0, a temperatura era 32 °C. Uma hora depois, era 30 °C. Então: 30 = 22 + 10(4/5)^k, logo 8 = 10(4/5)^k, isto é, (4/5)^k = 4/5. Daí vem k = 1. Com isso, a função fica T(t) = 22 + 10(4/5)^t, onde t está em horas contadas a partir das 12 h 30 min. Agora vem o detalhe importante: 34,5 °C é uma temperatura maior que 32 °C, então isso ocorreu antes da chegada do perito, isto é, para t negativo. Fazendo 34,5 = 22 + 10(4/5)^t, obtemos 12,5 = 10(4/5)^t, então (4/5)^t = 5/4. Como 5/4 é o inverso de 4/5, isso acontece quando t = -1. Portanto, o corpo estava a 34,5 °C exatamente 1 hora antes de 12 h 30 min, ou seja, às 11 h 30 min. É a alternativa B.