Entre os anos de 1950 e 2010, a população da cidade de Joinville cresceu de forma aproximadamente exponencial. Segundo dados do IBGE, a população de Joinville era de aproximadamente 40 mil habitantes em 1950 e de 520 mil habitantes em 2010. O modelo de crescimento populacional é dado pela função P(t) = P0 × eat, em que a é uma constante positiva, t = 0 corresponde ao ano de 1950 e cada unidade acrescida em t corresponde a 10 anos, por exemplo, o ano de 2070 corresponde a t = 12. Nessa situação hipotética, considerando-se que elnx = x e que a cidade irá continuar crescendo segundo o modelo apresentado, é correto afirmar que a população estimada da cidade de Joinville, em 2070, será de
- A)1 milhão e 600 mil habitantes.
Errada, porque 1,6 milhão não corresponde ao valor obtido pela substituição de t = 12 no modelo exponencial ajustado pelos dados de 1950 e 2010.
- B)6 milhões e 760 mil habitantes.
Certa, pois ao calcular o modelo para 2070 resulta P(12) = 40 mil · 13^2 = 6.760.000 habitantes.
- C)1 milhão e 40 mil habitantes.
Errada, porque 1,04 milhão subestima o crescimento exponencial indicado pela relação entre 1950, 2010 e 2070.
- D)20 milhões e 800 mil habitantes.
Errada, pois 20,8 milhões superestima bastante o valor gerado pelo modelo exponencial dado.
- E)1 milhão de habitantes.
Errada, porque 1 milhão é inferior ao valor correto encontrado ao aplicar a função exponencial ao ano de 2070.
Gabarito: B
Quando a questão fala em crescimento exponencial, a ideia é que a população aumenta por um fator multiplicativo, e não por uma soma fixa. No modelo P(t) = P0 · e^(at), você usa o dado inicial para achar P0 e depois outro ponto conhecido para descobrir a constante a. Aqui, em 1950 temos t = 0, então P0 = 40 mil. Como em 2010 passaram-se 60 anos, temos t = 6. Logo, 520 mil = 40 mil · e^(6a). Dividindo por 40 mil, fica 13 = e^(6a). Usando a propriedade dada no enunciado, a = ln(13)/6. Agora é só ir para 2070, que corresponde a t = 12. Então P(12) = 40 mil · e^(12a) = 40 mil · e^(12·ln(13)/6) = 40 mil · e^(2ln(13)). Como e^(ln x) = x, isso vira 40 mil · 13^2 = 40 mil · 169 = 6.760.000 habitantes. Portanto, a alternativa correta é a B. O ponto-chave aqui é perceber que dobrar o tempo no expoente dobra o logaritmo, e isso transforma o crescimento em uma multiplicação poderosa. Em matemática de concurso, o exponential adora fazer esse teatro todo para no fim virar conta direta.