Uma fábrica de autopeças, situada em Joinville, produz determinado tipo de peça que fornece lucro dado pela função L(p) = 303p − 12p2 – 360, sendo p o preço de venda da peça. Nessa situação hipotética, para que a empresa não tenha prejuízo, é necessário que o preço de venda da peça seja
- A)p > 0.
Errada, porque p > 0 apenas garante preço positivo, mas não assegura lucro sem prejuízo.
- B)p ≥ 101/8.
Errada, porque 101/8 é uma das raízes da equação se fosse outra expressão, mas não corresponde ao intervalo correto do lucro.
- C)5/4 ≤ p ≤ 24.
Certa, pois o lucro é maior ou igual a zero exatamente quando 5/4 \le p \le 24.
- D)p ≥ 24.
Errada, porque p \ge 24 pega só a parte final do intervalo e exclui valores também lucrativos entre 5/4 e 24.
- E)0 ≤ p ≤5/4.
Errada, porque esse intervalo fica restrito demais e não corresponde às soluções da inequação do lucro.
Gabarito: C
Quando a questão fala em lucro, a conta é simples: para a empresa não ter prejuízo, o lucro precisa ser maior ou igual a zero. Então, basta montar a desigualdade L(p) = 303p - 12p^2 - 360 \ge 0. Isso já transforma o problema em uma inequação do 2º grau, daquelas que aparecem bastante em funções quadráticas. Agora é só organizar: -12p^2 + 303p - 360 \ge 0. Se você preferir, pode multiplicar tudo por -1, mas lembre que o sinal da desigualdade inverte. Fica 12p^2 - 303p + 360 \le 0. Aqui entra o ponto clássico: achar as raízes da parábola para saber em que intervalo a expressão fica não positiva. Resolvendo a equação 12p^2 - 303p + 360 = 0, obtemos as raízes p = 5/4 e p = 24. Como a parábola tem concavidade para cima, a expressão fica menor ou igual a zero entre as duas raízes. Em linguagem de concurso: a empresa não tem prejuízo quando 5/4 \le p \le 24. Por isso, o gabarito é a alternativa C. Em resumo: lucro zero ou positivo significa resolver a inequação do lucro, encontrar os pontos de corte e pegar o intervalo entre eles. Matemática sem drama, só com atenção aos sinais.