Suponha que uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm os primeiros termos iguais a 12 e suas razões, respectivamente, r e q são números inteiros positivos. Se os sétimos termos de ambas as progressões são também iguais então podemos concluir que o número r será
- A)um número par apenas quando q for um número ímpar.
Errada, porque r não depende de q ser ímpar para ser par, ele é sempre par.
- B)um número ímpar independente se o valor de q for par ou ímpar.
Errada, porque r não é ímpar em hipótese alguma nesse cenário.
- C)um número par independente se o valor de q for par ou ímpar.
Certa, pois a igualdade dos sétimos termos leva a r = 2(q^6 - 1), então r é par para qualquer q inteiro positivo.
- D)um número ímpar apenas quando q for um número ímpar.
Errada, porque r não pode ser ímpar nem quando q é ímpar nem em outro caso.
- E)um número par apenas quando q for um número par.
Errada, porque a paridade de r não fica condicionada a q ser par; r é sempre par.
Gabarito: C
Em progressão aritmética, o termo geral é a1 + (n - 1)r. Como o primeiro termo vale 12, o sétimo termo é 12 + 6r. Em progressão geométrica, o termo geral é a1.q^(n - 1), então o sétimo termo é 12.q^6. A questão diz que esses sétimos termos são iguais, logo 12 + 6r = 12.q^6. Agora vem o truque bonito: podemos dividir tudo por 6 e obter 2 + r = 2.q^6, ou seja, r = 2(q^6 - 1). Isso já mostra que r é sempre par, porque tem fator 2. E aqui entra a parte sobre paridade de q: se q for par, q^6 é par; se q for ímpar, q^6 é ímpar. Mas em ambos os casos, q^6 - 1 fica ímpar ou par? Não importa para o resultado final, porque o 2 na frente garante que r seja par de qualquer jeito. Portanto, a conclusão correta é que r é par independentemente de q ser par ou ímpar. Resumo de prova: compare os termos gerais, iguale as expressões e observe a paridade do fator que aparece. O gabarito é a alternativa C.