Considere uma função real de valores reais f:]–∞, +∞[ → ]–∞, +∞[. Se f é função ímpar, então
- A)o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
Errada: simetria em relação ao eixo das ordenadas é característica de função par, não de função ímpar.
- B)o gráfico de f passa necessariamente pela origem.
Certa: como f(0) = -f(0), segue que f(0) = 0, então o gráfico passa pela origem.
- C)f é necessariamente crescente.
Errada: ser ímpar não obriga a função a ser crescente; isso depende da função concreta.
- D)f é necessariamente decrescente.
Errada: função ímpar também não é necessariamente decrescente, pois a definição não impõe monotonicidade.
- E)o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo das abscissas.
Errada: simetria em relação ao eixo das abscissas não é a propriedade de função ímpar; isso nem caracteriza, em geral, função real por si só.
Gabarito: B
Função ímpar é aquela que satisfaz f(-x) = -f(x), para todo x do domínio. Em linguagem de prova: o valor em -x é o oposto do valor em x. Isso faz o gráfico ter simetria em relação à origem, e não em relação aos eixos cartesianos. É uma daquelas definições que a banca gosta de cobrar com cara de geometria, mas coração de álgebra. Agora vem o ponto-chave da questão: se a função é ímpar e o domínio é todo o conjunto dos reais, então necessariamente 0 pertence ao domínio. Aplicando a definição em x = 0, temos f(0) = -f(0), logo 2f(0) = 0 e, portanto, f(0) = 0. Ou seja, o gráfico passa pela origem. É por isso que a alternativa B está correta. Não confunda isso com função par. Na função par, vale f(-x) = f(x), e o gráfico é simétrico em relação ao eixo das ordenadas. Já na ímpar, a simetria é em relação ao ponto (0,0). A banca CESPE/CEBRASPE adora trocar esses espelhos para ver se você escorrega. Também não existe regra geral de monotonicidade para função ímpar: ela pode ser crescente, decrescente ou nem uma coisa nem outra. Então, cuidado com afirmações absolutas. A definição formal de função ímpar, usada em livros e cursos de análise básica, é exatamente essa relação f(-x) = -f(x), que leva ao resultado sobre a origem.