Considere as circunferências S1, S2 e S3, dadas pelas equações seguintes. S1: (x – 4)² + y² = 16 S2: x² + y² – 20x – 12y + 127 = 0 S3: (x – 4)² + y² – 20y = –64 Acerca dessas circunferências, é correto afirmar que
- A)S1 é secante a S3 e externa a S2.
Errada, porque S1 e S3 não são secantes: elas são tangentes externas, e S1 não é externa a S2, já que as circunferências se intersectam.
- B)S3 é tangente a S1 e a S2.
Errada, porque S3 é tangente a S1, mas não é tangente a S2, e sim secante a ela.
- C)S3 é tangente a S1 e secante a S2.
Correta, pois S3 toca S1 em um único ponto e corta S2 em dois pontos.
- D)S1 é externa a S2 e a S3.
Errada, porque S1 não é externa a S3, já que S1 e S3 têm um ponto em comum.
- E)S2 é externa a S1 e tangente a S3.
Errada, porque S2 não é externa a S1 e também não é tangente a S3; entre S2 e S3 há secância.
Gabarito: C
Em circunferências, o truque mais rápido é colocar tudo na forma-padrão: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2. Aí você lê centro e raio quase sem esforço, como quem olha a etiqueta da roupa. Depois disso, basta comparar a distância entre os centros com a soma e a diferença dos raios. Para a S1, temos centro em (4, 0) e raio 4. Para a S2, completando quadrados, fica centro em (10, 6) e raio 3. Já a S3, ao reorganizar a equação, fica centro em (4, 10) e raio 6. Agora vem a parte decisiva: a distância entre os centros de S1 e S3 é 10. Como 4 + 6 = 10, elas são tangentes externas. Já entre S3 e S2, a distância entre os centros é sqrt(52), que está entre a diferença dos raios, 6 - 3 = 3, e a soma, 6 + 3 = 9. Isso significa que elas se cruzam em dois pontos, isto é, são secantes. Por isso, o gabarito é a alternativa C: S3 é tangente a S1 e secante a S2. A regra usada aqui é a clássica da geometria plana: comparar a distância entre centros com soma e diferença dos raios.