Considerando a figura geométrica obtida a partir da equação x² + y² - √2x - √7y -55/4 = 0, em que os valores de x e y estão em metros, assinale a opção correta.
- A)A equação representa uma circunferência de raio √55/2 m.
Errada, porque o raio não é √55/2; ao completar quadrados, o raio encontrado é 4 m.
- B)A equação representa uma circunferência de centro ( √2, √7).
Errada, porque o centro não é (√2, √7), e sim (√2/2, √7/2) após completar quadrados.
- C)A equação não representa uma circunferência.
Errada, porque a equação tem x² e y² com os mesmos coeficientes e sem termo xy, então representa sim uma circunferência.
- D)A equação representa uma circunferência de área 16π m² .
Certa, pois a circunferência tem raio 4 m e, portanto, área igual a 16π m².
- E)A equação representa uma circunferência de diâmetro 55/4 m.
Errada, porque o diâmetro não é 55/4 m; o diâmetro da circunferência é 8 m.
Gabarito: D
Quando você vê uma equação do tipo x² + y² + Dx + Ey + F = 0, a primeira pergunta é: isso parece uma circunferência? Se os coeficientes de x² e y² forem iguais e não houver termo xy, a resposta normalmente é sim. Aí entra a velha amiga da álgebra: completar quadrados. É ela que revela centro e raio sem drama. Aqui, temos x² + y² - √2x - √7y - 55/4 = 0. Agrupando os termos de x e de y, fica x² - √2x + y² - √7y = 55/4. Completando quadrados, obtemos (x - √2/2)² + (y - √7/2)² = 16. Então a figura é uma circunferência de centro (√2/2, √7/2) e raio 4 metros. Se o raio é 4, a área é πr² = π·16 = 16π m². É exatamente por isso que a alternativa D está correta. Em geometria analítica, não tem mistério: achou a forma padrão da circunferência, achou o raio, e depois é só usar a fórmula da área. Um detalhe importante: a banca gosta de confundir você com números que aparecem na equação antes de completar quadrados. Mas o que manda mesmo é a forma padrão, não o chute inicial. Aqui, o valor bonito que sai no final é o 16, que leva direto à área.