Um rei determinou a um sábio que estipulasse uma recompensa por tê-lo vencido em uma partida de xadrez. O sábio, então, respondeu: — Majestade, eu desejo como recompensa a quantidade de grãos de arroz que se obtém adotando-se o seguinte procedimento: percorrendo o tabuleiro de xadrez de cima para baixo e da direita para a esquerda, na primeira casa do tabuleiro, coloque 1 grão de arroz; na segunda casa, 2 grãos de arroz; na terceira, 4 grãos de arroz e assim por diante, de modo que, na n-ésima casa do tabuleiro, devam ser colocados 2n-1 grãos de arroz. Considerando-se que o tabuleiro de xadrez tenha 64 casas e que 1 kg de arroz tenha 50.000 grãos de arroz — de modo que uma tonelada de arroz tenha 50 milhões de grãos de arroz —, é correto concluir que apenas para a 31.ª casa do tabuleiro de xadrez ele deverá colocar
- A)menos de 1 tonelada de arroz.
Errada, porque 2^30 grãos já superam com folga 1 tonelada de arroz.
- B)menos de 10 toneladas de arroz.
Errada, porque o valor calculado é cerca de 21,47 toneladas, então não fica abaixo de 10 toneladas.
- C)mais de 20 toneladas de arroz.
Certa, porque 2^30 grãos equivalem a aproximadamente 21,47 toneladas, isto é, mais de 20 toneladas.
- D)mais de 30 toneladas de arroz.
Errada, porque 21,47 toneladas não passam de 30 toneladas.
- E)mais de 40 toneladas de arroz.
Errada, porque 21,47 toneladas estão bem abaixo de 40 toneladas.
Gabarito: C
Aqui o segredo é perceber que a quantidade de grãos forma uma progressão geométrica, em que cada casa recebe o dobro da anterior. Assim, na n-ésima casa, a quantidade é 2^(n-1). Para a 31.ª casa, temos 2^30 grãos, ou seja, 1.073.741.824 grãos. Agora vem a conversão, que é onde muita gente escorrega. Se 1 tonelada corresponde a 50 milhões de grãos, basta dividir 1.073.741.824 por 50.000.000. O resultado é aproximadamente 21,47 toneladas. Como 21,47 é maior que 20 e menor que 30, a conclusão correta é que ele deverá colocar mais de 20 toneladas de arroz. Portanto, o gabarito é a alternativa C. É o clássico problema da progressão geométrica que cresce rapidinho e assusta até o rei mais confiante.