Uma variável aleatória X tem função geradora de momentos dada por mX(t, θ) = θ/ (θ - t), t < θ. Nesse caso, X tem distribuição
- A)Poisson (θ)
Errada, porque a função geradora de momentos da Poisson tem outra forma e não é θ/(θ - t).
- B)Normal (θ, 1).
Errada, porque a Normal tem FGM exponencial quadrática, do tipo exp(μt + σ²t²/2), e não essa razão.
- C)Bernoulli (θ).
Errada, porque a Bernoulli tem FGM linear em p, da forma 1 - p + pe^t, sem essa estrutura racional.
- D)Exponencial (θ).
Certa, porque a FGM θ/(θ - t), para t < θ, é exatamente a da distribuição Exponencial com taxa θ.
- E)Gama (t, θ).
Errada, porque a Gama tem FGM diferente e depende da parametrização de forma e taxa, não sendo essa expressão dada.
Gabarito: D
A função geradora de momentos (FGM) é uma pista bem útil: ela “denuncia” a distribuição quando você reconhece a fórmula padrão. No caso, mX(t) = θ / (θ - t), com t < θ, essa é exatamente a FGM da distribuição exponencial com parâmetro de taxa θ. Em linguagem de prova, isso é o tipo de coisa que a FGV adora cobrar na lata: você reconhece a expressão e mata a questão sem precisar fazer malabarismo. Para a distribuição Exponencial(θ), a FGM é M(t) = θ/(θ - t), desde que t < θ. Então o enunciado já entregou a resposta de bandeja. Aqui, θ é a taxa (ou intensidade), e não a média. Se fosse a parametrização por média, a fórmula mudaria e muita gente cairia na armadilha. Por isso o gabarito é a letra D. As outras alternativas não batem com essa FGM: Poisson, Normal e Bernoulli têm funções geradoras bem diferentes, e Gama só coincidiria em casos específicos de parâmetros, não com essa forma simples de razão linear. Em resumo: reconheceu θ/(θ - t), pensou em exponencial. Simples, direto e muito cobrado.