Considere dois eventos A e B em um espaço amostral S. Sobre esses eventos, são feitas as seguintes afirmações: I. Dois eventos A e B são independentes se P(A∩B) = P(A)⋅P(B). II. Se P(A∣B) = P(A), então A e B são independentes. III. A probabilidade condicional de A dado B é calculada por P(A∣B) = P(A∩B)/P(B), desde que P(B) > 0. IV. Se A e B forem mutuamente exclusivos, então P(A∣B) = 0 para P(B) > 0. V. Eventos mutuamente exclusivos são sempre independentes. Estão corretas as afirmativas
- A)I, II e III, apenas.
A alternativa reúne as proposições I, II e III, que tratam do critério de independência por produto, da equivalência entre P(A|B)=P(A) e independência quando P(B)>0, e da fórmula da probabilidade condicional. O problema é que ela deixa de fora a afirmativa IV, que também decorre diretamente de A e B serem mutuamente exclusivos: se A∩B=\u2205, então P(A\u2229B)=0 e, por isso, P(A|B)=0 quando P(B)>0. Assim, o conjunto indicado fica incompleto.
- B)I, III e IV, apenas.
Esta opção seleciona I, III e IV, isto é, a definição de independência pelo produto, a regra da probabilidade condicional e a consequência de eventos mutuamente exclusivos terem interseção vazia. Ela erra porque não inclui a afirmativa II, e P(A|B)=P(A) com P(B)>0 é justamente um critério equivalente de independência, pois ao multiplicar por P(B) obtém-se P(A\u2229B)=P(A)P(B). Portanto, faltou uma proposição verdadeira essencial.
- C)III, IV e V, apenas.
Aqui aparecem III, IV e V. As duas primeiras estão corretas: a fórmula P(A|B)=P(A\u2229B)/P(B) vale para P(B)>0, e, se A e B são mutuamente exclusivos, então a interseção é vazia e a condicional fica zero. O erro está em V, porque eventos mutuamente exclusivos não são sempre independentes; se ambos tiverem probabilidade positiva, a independência exigiria P(A\u2229B)=P(A)P(B)>0, o que contraria P(A\u2229B)=0.
- D)I, II, III e IV, apenas.
Esta é a alternativa correta porque contempla I, II, III e IV, que estão de acordo com as definições básicas de probabilidade. I e II expressam os critérios equivalentes de independência, III traz a fórmula da probabilidade condicional para P(B)>0, e IV decorre do fato de que eventos mutuamente exclusivos têm interseção nula, logo P(A|B)=0 nessas condições. A única afirmativa falsa é V, pois exclusão mútua e independência só poderiam coexistir no caso degenerado de uma probabilidade nula.
- E)I, II, III, IV e V.
A alternativa inclui todas as afirmativas, mas isso amplia indevidamente o conjunto de proposições verdadeiras. As quatro primeiras estão corretas por reproduzirem o conceito de independência, a equivalência com a condicional, a fórmula de P(A|B) e a consequência da exclusão mútua. O erro está em V, porque eventos mutuamente exclusivos não são, em geral, independentes; se P(A)>0 e P(B)>0, a interseção vazia leva a P(A\u2229B)=0, incompatível com P(A)P(B)>0.
Gabarito: D
Em probabilidade, algumas relações entre eventos aparecem o tempo todo e a banca adora trocar uma pela outra para ver se voce escorrega. Independência significa que a ocorrência de um evento nao altera a chance do outro. Por isso, a definicao central é P(A ∩ B) = P(A)·P(B), que está na afirmativa I. Se voce olhar a condicional, a ideia é parecida: se P(A|B) = P(A), entao saber que B ocorreu nao muda nada para A, o que caracteriza independência, desde que P(B) > 0. Assim, a afirmativa II também está correta. A afirmativa III está perfeita porque a fórmula da probabilidade condicional é mesmo P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), desde que P(B) > 0. Já a IV também é correta: se A e B sao mutuamente exclusivos, entao A ∩ B = ∅, logo P(A ∩ B) = 0 e, com P(B) > 0, resulta P(A|B) = 0. Aqui a condicional “zera” porque, se B aconteceu, A nao pode acontecer junto. É a matemática lembrando que algumas coisas simplesmente nao convivem no mesmo evento. A pegadinha vem na afirmativa V. Eventos mutuamente exclusivos normalmente nao sao independentes, porque a interseção é zero, e isso só coincidiria com o produto P(A)P(B) se uma das probabilidades fosse zero. Em resumo, o gabarito D está correto porque I, II, III e IV sao verdadeiras, e a V é falsa.