Suponha que uma amostra aleatória X1, X2, ..., X10, de tamanho n =10 será obtida de uma distribuição Bernoulli (θ), θ desconhecido. Pretende-se usar uma densidade a priori Beta com parâmetros α = 2 e β = 2 e que será usada uma função de perda quadrática L(θ, a) = (θ – a)2, com 0 < θ < 1 e 0 < a < 1. Nesse caso, se forem observados 5 “sucessos”, a estimativa de Bayes para θ será igual a
- A)0,3.
Errada, porque 0,3 não corresponde à média da posterior Beta(7,7).
- B)0,4.
Errada, porque 0,4 não é o valor da esperança posterior após a atualização Bayesiana.
- C)0,5.
Certa, pois a posterior é Beta(7,7) e sua média é 7/14 = 0,5.
- D)0,6.
Errada, porque 0,6 inverteria o centro da posterior, mas a distribuição atualizada é simétrica.
- E)0,7.
Errada, porque 0,7 está longe da média posterior e não decorre da regra de atualização com perda quadrática.
Gabarito: C
Aqui a ideia central é bem clássica em inferência Bayesiana: com perda quadrática, a estimativa de Bayes é a média a posteriori. Em outras palavras, voce não escolhe o valor mais bonito ou mais provável por impulso, e sim o centro da distribuição posterior. Esse é o “alvo” que minimiza o erro quadrático esperado. Para uma Bernoulli com priori Beta(α, β), a atualização é simples e elegante, quase uma receita de bolo: se houver x sucessos em n observações, a posterior vira Beta(α + x, β + n - x). No problema, a priori é Beta(2,2) e foram observados 5 sucessos em 10 tentativas, então a posterior é Beta(7,7). Agora vem a conta final, sem drama: a média de uma Beta(a,b) é a/(a+b). Logo, a estimativa de Bayes é 7/(7+7) = 7/14 = 0,5. Por isso o gabarito é a alternativa C. Resumo de prova: Bernoulli + Beta + perda quadrática = posterior mean. Se a posterior ficou simétrica, como Beta(7,7), a estimativa cai exatamente no meio, ou seja, 0,5.