Deseja-se testar H0: μ ≥ 50 versus H1: μ < 50 em que μ é a média populacional de uma variável aleatória contínua suposta normalmente distribuída com variância conhecida σ2 = 100. Se uma amostra aleatória simples de tamanho n = 36 for obtida, e se x̄ é o valor observado da média amostral, então o critério uniformemente mais poderoso de tamanho α = 5% rejeitará H0 se
- A)x̄ < 48,124.
Errada, porque o ponto de corte correto para 5% à esquerda com erro-padrão 1,6667 fica abaixo de 47,3, não em 48,124.
- B)x̄ < 47,267.
Certa, pois usa o valor crítico da cauda esquerda em 5% e o erro-padrão 10/√36 para obter x̄ < 47,267.
- C)x̄ < 46,344.
Errada, porque esse corte está baixo demais e não corresponde ao nível de 5% com σ conhecida e n = 36.
- D)x̄ < 45,258.
Errada, pois o limite foi deslocado ainda mais para a esquerda, aumentando indevidamente a exigência para rejeitar H0.
- E)x̄ < 45,035.
Errada, porque esse valor é incompatível com a região crítica do teste unilateral à esquerda calculada a partir de z = -1,645.
Gabarito: B
Aqui a ideia é bem clássica: como a variância é conhecida e a população é normal, o teste UMP para H1: μ < 50 é um teste Z unilateral à esquerda. Em teste unilateral, você rejeita H0 quando a média amostral fica “baixa demais”, porque isso favorece a hipótese alternativa. Como H0 é composta (μ ≥ 50), o ponto de corte é calculado na fronteira, isto é, usando μ = 50. A estatística padronizada é Z = (x̄ - 50) / (10/√36), e o erro-padrão vale 10/6 = 1,6667. Para um nível de significância de 5% em cauda esquerda, o valor crítico é z0,05 = -1,645. Então: x̄ < 50 + (-1,645)(1,6667) ≈ 50 - 2,7333 ≈ 47,27. Logo, o critério de rejeição é x̄ menor que 47,267, que corresponde à alternativa B. Em linguagem de prova: quanto mais abaixo de 50 estiver a média observada, mais forte fica a evidência contra H0. Sem drama, sem magia, só Z e tabela.