Suponha um modelo de regressão linear p-variado dado por: Y = Xβ + ε em que Y é um vetor (n x 1), X é uma matriz (n x p) conhecida, β é um vetor de parâmetros (p x 1) e ε é um vetor de erros tal que E[ ε ] = 0, V[ε ] = Iσ2, de modo que os elementos de ε são não correlacionados, I é a matriz identidade. Nesse caso, se X’ é a matriz transposta da matriz X, a solução das equações normais é dada por
- A)b = (X’X)-1(X’Y).
Correta, porque a solução das equações normais em MQO é b = (X'X)^{-1}X'Y.
- B)b = (X’Y) (X’X)-1 .
Errada, porque a ordem da multiplicação está invertida e, em geral, X'Y não pode simplesmente vir antes de (X'X)^{-1}.
- C)b = (X’Y)-1(YX).
Errada, porque (X'Y)^{-1} não é a forma da solução e ainda há inversão de uma expressão que nem é a equação normal.
- D)b = (X’Y)-1(X’X).
Errada, porque inverte a lógica das equações normais e usa uma estrutura matricial sem relação com o estimador de MQO.
- E)b = (YX)-1(X’Y).
Errada, porque mistura produtos incompatíveis e tenta inverter YX, que não é a expressão correta da solução.
Gabarito: A
No modelo de regressão linear Y = Xβ + ε, o objetivo é estimar o vetor β com base nos dados observados. Quando se monta a soma dos quadrados dos resíduos e deriva em relação a β, aparecem as chamadas equações normais. Elas são a condição de ótimo da estimação por mínimos quadrados: X'Xb = X'Y. Se X'X for inversível, basta isolar b. Fazendo isso, você chega à expressão clássica do estimador de mínimos quadrados ordinários: b = (X'X)^{-1}X'Y. É a fórmula que a banca quer que você reconheça quase no reflexo, como quem vê café e já pensa em prova de concurso. O fato de E[ε] = 0 e V[ε] = Iσ^2 indica erros com média zero, variância constante e não correlacionados, o que sustenta o uso do MQO no modelo usual. A solução das equações normais, porém, vem da álgebra matricial, não dessa parte probabilística diretamente. Por isso o gabarito A está correto: ele apresenta a forma padrão do estimador b em regressão linear múltipla. As outras alternativas trocam a ordem das matrizes ou tentam inverter expressões que nem fazem sentido dimensionalmente.