Considere uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., Xn, de tamanho n, e as seguintes afirmativas acerca da estimação por máxima verossimilhança. I. Se a variável aleatória populacional tem distribuição Bernoulli parâmetro p, o estimador de máxima verossimilhança de p é a média amostral. II. Se a variável aleatória populacional tem distribuição exponencial parâmetro λ, o estimador de máxima verossimilhança de λ é a média amostral. III. Se a variável aleatória populacional tem distribuição Poissonparâmetro λ, o estimador de máxima verossimilhança de λ é a média amostral. Está correto o que se afirma em
- A)I, apenas.
Esta alternativa sustenta que apenas a afirmativa I está correta, isto é, que na distribuição Bernoulli(p) o estimador de máxima verossimilhança de p é a média amostral. Isso procede, porque a verossimilhança leva a p̂ = X̄, mas a alternativa ignora que a afirmativa III também é verdadeira. Na Poisson(λ), o MLE de λ também é a média amostral, então não se pode ficar só com I.
- B)I e II, apenas.
Aqui se afirma que as corretas são I e II, ou seja, que a Bernoulli tem MLE igual à média amostral e que a exponencial teria MLE de λ igual à média amostral. A primeira parte está certa, mas na exponencial padrão com parâmetro de taxa λ a maximização dá λ̂ = 1/X̄, e não X̄, pois a derivada da log-verossimilhança conduz a n/λ - ΣXi = 0. Além disso, a afirmativa III também é verdadeira, então a composição proposta pela alternativa fica incorreta.
- C)I e III, apenas.
Esta alternativa diz que apenas I e III estão corretas: na Bernoulli(p), o MLE de p é a média amostral, e na Poisson(λ), o MLE de λ também é a média amostral. Isso está correto porque, nos dois casos, a maximização da verossimilhança leva ao estimador X̄. A afirmativa II é falsa na parametrização usual da exponencial, já que o MLE de λ é o inverso da média amostral, não a própria média.
- D)II e III, apenas.
A alternativa afirma que apenas II e III estão corretas, isto é, que a exponencial teria MLE de λ igual à média amostral e que a Poisson também teria esse mesmo estimador. A parte referente à Poisson procede, mas a da exponencial está errada na parametrização usual de taxa: o máximo da verossimilhança fornece λ̂ = 1/X̄. Além disso, a afirmativa I também é verdadeira, porque na Bernoulli(p) o MLE de p é X̄.
- E)I, II e III.
Esta opção sustenta que as três afirmativas estariam corretas. De fato, I e III estão corretas, pois Bernoulli(p) e Poisson(λ) têm MLE igual à média amostral, mas a afirmativa II não se sustenta na exponencial com parâmetro de taxa λ. Nesse caso, a estimação por máxima verossimilhança leva a λ̂ = 1/X̄, de modo que não é possível validar o conjunto inteiro.
Gabarito: C
Na estimação por máxima verossimilhança, você escolhe o valor do parâmetro que torna a amostra observada mais “plausível” sob o modelo. Em muitos modelos clássicos, o estimador de máxima verossimilhança acaba coincidindo com a média amostral, mas isso não é regra geral: depende de como o parâmetro entra na distribuição. Na Bernoulli(p), a verossimilhança leva ao estimador p̂ = X̄. Faz sentido, porque a média da amostra é exatamente a proporção de sucessos. Na Poisson(λ), acontece a mesma coisa: o MLE de λ também é X̄, já que a média populacional da Poisson é λ. A armadilha está na Exponencial. Na parametrização mais usada em Estatística e em concursos, λ é a taxa (rate), e o MLE não é a média amostral, mas sim 1/X̄. Ou seja, a afirmação II está errada. Por isso, o gabarito é C: I e III estão corretas, e II não. Resumo de prova: Bernoulli(p) -> média amostral; Poisson(λ) -> média amostral; Exponencial(λ), com λ como taxa -> inverso da média amostral. Esse detalhe de parametrização adora aparecer como pegadinha de FGV.