Se X tem distribuição normal p-variada com vetor de médias μ e matriz de covariâncias Σ então Z = DX, em que D é uma matriz q xp de posto q ≤ p tem distribuição normal com vetor de médias_____ e matriz de covariâncias _____. Se D’ é a transposta de D, as lacunas ficam corretamentepreenchidas respectivamente por
- A)μ e DΣD’
Errada, porque o vetor de médias não fica igual a μ depois da transformação linear; ele passa a ser Dμ.
- B)Dμ e DΣD’
Certa, pois a transformação linear de uma normal multivariada X ~ Np(μ, Σ) gera Z = DX ~ Nq(Dμ, DΣD').
- C)Dμ e D’Σ-1D
Errada, porque a matriz de covariâncias não envolve inversa de Σ nem a expressão D'Σ^-1D nesse caso.
- D)μ e DΣ-1D’
Errada, pois a média não permanece μ e a covariância também não é dada por DΣ^-1D'.
- E)Dμ e DΣ-1D’
Errada, porque repete o erro de usar Σ^-1 na covariância e não traz a média correta Dμ.
Gabarito: B
Quando uma variável aleatória vetorial X tem distribuição normal multivariada, qualquer combinação linear dela continua normal. Aqui, Z = DX é justamente uma transformação linear, então Z também tem distribuição normal. A regra é simples: o vetor de médias da nova variável vira Dμ, porque a esperança passa pela matriz, e a matriz de covariâncias vira DΣD', que preserva a estrutura de variabilidade da transformação. Pense assim: a média vai sendo "transportada" pela matriz D, e a dispersão sofre a transformação dos dois lados, à esquerda e à direita, com D e sua transposta. É o tipo de questão em que a banca testa se voce conhece a propriedade básica da normal multivariada, muito usada em inferência e em modelos lineares. Logo, para Z = DX, o vetor de médias é Dμ e a matriz de covariâncias é DΣD'. Portanto, o gabarito B está correto. Não há mistério: é a fórmula padrão da transformação linear de uma normal multivariada.