Suponha que uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma distribuição normal com média μ e variância σ2 será obtida. Sejam x̅ e s a média amostral e o desvio padrão amostral usuais. Se z denota o 97,5% percentil da distribuição normal padrão, então o intervalo de 95% de confiança usual para μ será dado por
- A)(x̅ – √n zs/2; x̅ + √n zs/2).
Errada: a raiz de n aparece no lugar errado, pois o erro padrão deve ser s/√n, não √n·s/2.
- B)(x̅– 2zs/√n; x̅ + 2zs/√n).
Errada: o fator 2 não entra na fórmula do intervalo de confiança com quantil z; o correto é usar o percentil 97,5% diretamente.
- C)(x̅– z/s√n; x̅ + z/s√n).
Errada: o desvio-padrão está no denominador, mas a expressão correta é z·s/√n, e não z/(s√n).
- D)(x̅– zs/√n; x̅ + zs/√n).
Certa: o intervalo bilateral de 95% para μ é x̅ ± z·s/√n, usando o quantil 97,5% da normal padrão.
- E)(x̅– zs; x̅ + zs).
Errada: falta dividir por √n, então a margem de erro fica inflada e não representa o erro padrão da media.
Gabarito: D
Quando voce quer estimar a media populacional μ, o intervalo de confiança serve para dizer: "com 95% de confiança, o valor verdadeiro deve estar nesta faixa". No caso de uma amostra de uma normal, a ideia central é pegar a media amostral x̅ e somar e subtrair uma margem de erro. Essa margem depende do quantil da normal padrão e da variabilidade da amostra. Aqui, o enunciado informa que z é o percentil 97,5% da normal padrão. Isso é exatamente o valor usado em um intervalo bilateral de 95%, porque sobram 2,5% em cada cauda. Como a variância populacional não foi dada, usa-se o desvio-padrão amostral s no lugar de σ, formando o intervalo usual baseado na normal padronizada. A fórmula correta fica x̅ ± z·s/√n. Note que o erro padrão é s/√n, e não s sozinho, porque quanto maior o tamanho da amostra, menor a incerteza sobre a media. Em prova, essa é uma armadilha clássica: trocar raiz de n por n, inverter a fração ou esquecer o denominador. Por isso o gabarito D está correto: ele traz exatamente a media amostral mais e menos o valor crítico z multiplicado pelo erro padrão s/√n. É o intervalo de confiança bilateral de 95% mais conhecido na Estatística básica.