Sejam X e Y variáveis aleatórias que apresentam distribuição conjunta uniforme (ou seja, um valor de densidade constante) sobre a região: {(x,y) | 0 < x < 1, y > 0, x+y<1}. A variância de X é:
- A)1/18;
Correta: ao calcular a marginal de X e os momentos, obtemos Var(X) = 1/18.
- B)1/9;
Errada: 1/9 aparece se voce esquecer o termo (E[X])² ou errar a marginal de X.
- C)1/6;
Errada: esse valor e maior do que a variancia real, que resulta da integracao correta na regiao triangular.
- D)1/4;
Errada: 1/4 seria compatível com uma dispersao bem maior do que a da densidade triangular dada.
- E)1/3.
Errada: 1/3 e o valor da media de X, nao da variancia.
Gabarito: A
Quando a distribuicao conjunta e uniforme em uma regiao, a densidade e constante dentro dela. Aqui, a regiao e o triangulo 0 0 e x + y < 1, cuja area vale 1/2. Por isso, a densidade conjunta e 2, para que a integral total seja 1. Para achar a variancia de X, primeiro obtemos a marginal de X: para cada x entre 0 e 1, y varia de 0 ate 1 - x. Entao fX(x) = 2(1 - x). Isso ja mostra que X nao e uniforme em [0,1]; ele prefere mais os valores menores, porque a faixa possivel de y vai diminuindo quando x cresce. Agora calculamos os momentos. A esperança e E[X] = integral de 0 a 1 de x·2(1 - x) dx = 1/3. E o segundo momento e E[X²] = integral de 0 a 1 de x²·2(1 - x) dx = 1/6. Logo, Var(X) = E[X²] - (E[X])² = 1/6 - 1/9 = 1/18. Portanto, o gabarito correto e a alternativa A. A ideia central aqui e simples: primeiro achar a densidade na regiao, depois a marginal de X e, por fim, aplicar Var(X) = E[X²] - (E[X])². Nada de confiar no chute do "triangulo bonitinho", porque estatistica adora uma armadilha geometricamente simpática.