Para testar H0: p = 0,5 versus H1: p = 0,8, em que p é o parâmetro de uma densidade Bernoulli (p), uma amostra X1, X2, X3, X4, de tamanho 4, será obtida e será usado o critério de decisão que rejeitará H0 se X1 + X2 + X3 + X4 ≥ 3. Nesse caso, a soma das probabilidades de erro tipo I e tipo II desse critério é aproximadamente igual a
- A)0,28.
Errada, porque a soma dos erros tipo I e tipo II é maior que 0,28 quando você calcula corretamente as probabilidades binomiais.
- B)0,33.
Errada, pois esse valor fica abaixo da soma real dos dois erros, que é cerca de 0,49.
- C)0,49.
Certa, porque o erro tipo I é 0,3125 e o erro tipo II é 0,1808, totalizando aproximadamente 0,4933.
- D)0,52.
Errada, porque 0,52 é um arredondamento acima do valor obtido, que fica mais próximo de 0,49.
- E)0,65.
Errada, pois 0,65 está bem acima da soma correta das probabilidades de erro neste teste.
Gabarito: C
Aqui a ideia é bem clássica em teste de hipótese: você olha a regra de decisão, identifica a região de rejeição e calcula os erros. Como a amostra tem variáveis Bernoulli independentes, a soma X1 + X2 + X3 + X4 tem distribuição Binomial(n = 4, p). Ou seja, o problema virou conta de binomial, sem drama e sem magia. O erro tipo I é rejeitar H0 quando H0 é verdadeira. Então usamos p = 0,5 e a regra “rejeita se a soma for maior ou igual a 3”. Logo, erro tipo I = P(X >= 3 | p = 0,5) = P(X = 3) + P(X = 4) = C(4,3)(0,5)^4 + C(4,4)(0,5)^4 = 4/16 + 1/16 = 5/16 = 0,3125. O erro tipo II é não rejeitar H0 quando H1 é verdadeira. Agora usamos p = 0,8 e precisamos de P(X <= 2 | p = 0,8). Fazendo a soma binomial, temos P(0) + P(1) + P(2) = (0,2)^4 + 4(0,8)(0,2)^3 + 6(0,8)^2(0,2)^2 = 0,0016 + 0,0256 + 0,1536 = 0,1808. Somando os dois erros: 0,3125 + 0,1808 = 0,4933, que é aproximadamente 0,49. Por isso o gabarito é a alternativa C. Em prova, o segredo é esse: primeiro traduzir a regra em probabilidade binomial, depois somar o erro tipo I com o tipo II. O resto é só aritmética com cara de armadilha.