O número de ensaios de uma distribuição Binomial é 1.000.000. Se a probabilidade de ocorrência é de 0,5 então se pode convergir para uma distribuição Normal com média e variância iguais a, respectivamente:
- A)0,5 e 1;
Errada, porque 0,5 e 1 não correspondem nem à média nem à variância da Binomial dada.
- B)0,5 e 0,5;
Errada, porque 0,5 e 0,5 são valores associados à probabilidade p, não aos parâmetros da Normal aproximada.
- C)0,5 e 0,25;
Errada, porque 0,5 e 0,25 confundem probabilidade com variância padronizada, mas ignoram o tamanho de n.
- D)500.000 e 500.000;
Errada, porque 500.000 é a média, mas a variância não é 500.000 e sim np(1-p).
- E)500.000 e 250.000.
Certa, porque na Binomial a média é np = 500.000 e a variância é np(1-p) = 250.000.
Gabarito: E
Quando você tem uma distribuição Binomial com número de ensaios muito grande, ela pode ser aproximada por uma Normal, desde que as condições sejam boas, como np e n(1-p) suficientemente grandes. Aqui isso acontece com facilidade, porque n = 1.000.000 e p = 0,5, então os dois produtos ficam enormes. Isso é um cenário clássico de aproximação normal, bem conhecido na teoria das probabilidades e usado o tempo todo em estatística aplicada. Na Binomial, a média é dada por np e a variância por np(1-p). Fazendo as contas: média = 1.000.000 x 0,5 = 500.000. Já a variância = 1.000.000 x 0,5 x 0,5 = 250.000. Ou seja, a Normal aproximada terá média 500.000 e variância 250.000. Perceba que muita gente escorrega aqui porque confunde a probabilidade de sucesso com a média da distribuição ou troca variância por desvio-padrão. A fórmula não muda: em Binomial, média é np e variância é np(1-p). É essa dupla que manda no jogo. Então o gabarito correto é a alternativa E. Se a banca pede média e variância da aproximação Normal da Binomial, você já sabe o caminho: primeiro calcula np, depois np(1-p).