Seja f(x) = k/x, 1 ≤ x ≤ e, onde “e” é o número neperiano, uma função densidade de probabilidade de variável aleatória contínua, onde f(x)=0 para x>e ou x<1. O valor de k deve ser igual a:
- A)1;
Correta, porque a integral de k/x de 1 a e vale k, e essa área deve ser 1.
- B)2;
Errada, pois k = 2 faria a área total ser 2, violando a condição de densidade.
- C)3;
Errada, porque k = 3 também superaria a área total permitida para uma densidade.
- D)4;
Errada, já que k = 4 não normaliza a função e a área ficaria acima de 1.
- E)5.
Errada, pois k = 5 deixaria a área ainda maior, incompatível com uma densidade de probabilidade.
Gabarito: A
Em uma densidade de probabilidade, a área total sob a curva precisa ser igual a 1. Essa é a regra de ouro: se a função não “fecha” essa área, ela não pode ser densidade. Aqui, a função é f(x) = k/x no intervalo de 1 a e, e zero fora dele. Então basta integrar no trecho em que ela existe. Calculando: ∫_1^e (k/x) dx = k ∫_1^e (1/x) dx = k[ln x]_1^e = k(ln e - ln 1) = k(1 - 0) = k. Como a área total deve ser 1, temos k = 1. Ou seja, o enunciado está cobrando só o básico de densidade contínua: integral total igual a 1. Não tem truque escondido, apesar da banca gostar de colocar o número e para dar uma sensação de mistério matemático. Por isso o gabarito é a alternativa A. Se a função é uma densidade válida, o valor de k precisa ser exatamente 1 para normalizar a área sob a curva.