Sejam (x1,y1), (x2,y2), ... (xn,yn), os dados da modelagem de uma regressão linear simples Yi=α+ βXi+€i obtida pelo método dos mínimos quadrados. É correto afirmar que:
- A)o estimador de beta é dado pela covariância entre X e Y dividido pela variância de X;
Correta: na regressão linear simples por MQO, beta_hat = cov(X,Y)/var(X).
- B)o estimador de beta é dado pela covariância entre X e Y dividido pela variância de Y;
Errada: a variância usada no denominador é a de X, não a de Y.
- C)o estimador de alfa pode ser definido a partir da média de Y somada com o estimador de beta multiplicado pela média de X;
Errada: o intercepto é alpha_hat = ybar - beta_hat xbar, e não soma de médias com sinal de mais.
- D)a estimativa de alfa pode ser interpretada como o coeficiente angular da equação da reta no plano cartesiano bidimensional;
Errada: alpha é o intercepto, enquanto o coeficiente angular é beta.
- E)a estimativa de beta pode ser interpretada como o coeficiente linear ou intercepto da equação da reta no plano cartesiano bidimensional.
Errada: beta é a inclinação da reta, não o intercepto ou coeficiente linear.
Gabarito: A
Na regressão linear simples, a ideia é descrever como Y varia quando X muda. O modelo clássico é Yi = alpha + beta Xi + ei, em que alpha é o intercepto e beta é a inclinação da reta. Pelo método dos mínimos quadrados, escolhe-se a reta que minimiza a soma dos erros ao quadrado, e disso saem as fórmulas conhecidas dos estimadores. O estimador de beta, em particular, é dado por cov(X,Y) dividida pela variância de X. Intuitivamente, ele mede quanto Y tende a variar quando X aumenta uma unidade, ajustando o efeito conjunto das observações. Se a covariância é positiva, a relação tende a ser crescente; se é negativa, decrescente. Já o estimador de alpha não é a média de Y somada com beta vezes a média de X. Na verdade, ele é calculado por alpha_hat = ybar - beta_hat xbar, para que a reta estimada passe pelo ponto médio (xbar, ybar). Isso é uma propriedade clássica da regressão por MQO. Por isso, o gabarito é a alternativa A. As demais trocam variância, confundem intercepto com coeficiente angular ou invertem os papéis de alpha e beta.