Um estatístico está realizando um estudo para determinar a altura média dos pinheiros retirados para o Natal. Ele coletou dados de alturas de amostras aleatórias das árvores. Após uma análise inicial, ele concluiu que as alturas seguem uma distribuição de probabilidade com variância conhecida. Considerando os conceitos do Teorema Central do Limite (TCL) e da Lei dos Grandes Números (LGN), é correto afirmar que:
- A)a variância das alturas das árvores diminui, à medida que o tamanho da amostra aumenta, conforme previsto pelo TCL;
Errada, porque o TCL nao diz que a variancia das alturas das arvores diminui com o aumento da amostra; ele trata da distribuicao da media amostral, nao da variancia dos dados originais.
- B)o TCL afirma que a média das alturas das árvores seguirá uma distribuição normal, independentemente do tamanho da amostra;
Errada, porque o TCL nao garante normalidade da media independentemente do tamanho da amostra, mas sim uma aproximacao normal quando a amostra cresce e sob certas condicoes.
- C)a média das alturas das árvores se afasta cada vez mais da média populacional à medida que o tamanho da amostra aumenta, como previsto pelo TCL;
Errada, porque o TCL nao afirma afastamento da media amostral em relacao a populacao; isso vai na direcao oposta do que a teoria prevê.
- D)a LGN estabelece que, para uma amostra de alturas de árvores, a média amostral se igualará à média populacional, independentemente do tamanho da amostra;
Errada, porque a LGN nao diz que a media amostral se iguala exatamente a media populacional para qualquer tamanho de amostra, e sim que ela converge a esse valor quando n aumenta.
- E)a LGN estabelece que, para uma grande amostra de alturas de árvores, a média das alturas amostrais converge para o valor esperado da altura média populacional conforme o tamanho da amostra aumenta.
Certa, porque a LGN estabelece precisamente que a media amostral converge para o valor esperado da populacao conforme o tamanho da amostra aumenta.
Gabarito: E
Aqui a banca quer ver se voce sabe separar duas ideias que parecem primas, mas nao sao gemeas: o Teorema Central do Limite (TCL) e a Lei dos Grandes Numeros (LGN). O TCL diz, em termos simples, que quando o tamanho da amostra cresce, a distribuicao da media amostral tende a ficar aproximadamente normal, mesmo que a populacao original nao seja normal, desde que certas condicoes sejam atendidas. Ele fala da forma da distribuicao da media, nao de a media "virar" a populacao nem de a variancia das observacoes sumir por milagre. Ja a LGN trata de convergencia: conforme a amostra aumenta, a media amostral tende a se aproximar do valor esperado da populacao. Em outras palavras, quanto mais dados voce coleta, menor a chance de a media da amostra ficar "viajando" longe do valor real. E importante notar que a lei nao promete igualdade exata para qualquer amostra, mas convergencia quando o n cresce. Por isso, o gabarito E esta correto: ele descreve exatamente a ideia da LGN, com a media amostral convergindo para o valor esperado da populacao conforme o tamanho da amostra aumenta. Essa e a formula classica ensinada em estatistica e probabilidade, sem truques. Resumo de prova: TCL fala de forma aproximada da distribuicao da media; LGN fala de aproximacao da media amostral ao parametro populacional. Se a questao misturar "normalidade" com "convergencia", pare, respire e veja qual teorema esta sendo cobrado.