Uma distribuição Exponencial possui valor esperado igual a 0,5. O valor da esperança do quadrado dessa variável aleatória é:
- A)0,00;
Errada, porque 0,00 não pode ser a esperança de X² para uma variável exponencial positiva com média 0,5.
- B)0,25;
Errada, porque 0,25 é só a variância nesse caso, e não a esperança do quadrado.
- C)0,50;
Certa, pois E(X²) = Var(X) + [E(X)]² = 0,25 + 0,25 = 0,50.
- D)0,75;
Errada, porque 0,75 seria um valor inflado e não resulta da relação entre média e variância da Exponencial.
- E)1,00.
Errada, porque 1,00 não corresponde ao cálculo de E(X²) quando a média é 0,5.
Gabarito: C
Na distribuição Exponencial, a média e a variância têm uma relação bem prática: se X ~ Exp(λ), então E(X) = 1/λ e Var(X) = 1/λ². Aqui, o enunciado já entrega que o valor esperado é 0,5, então você consegue achar λ = 2 sem sofrimento matemático exagerado. O ponto-chave da questão é lembrar da identidade E(X²) = Var(X) + [E(X)]². Essa fórmula aparece o tempo todo em Estatística e evita contas desnecessárias. É quase um atalho oficial para não cair em armadilha de prova. Como E(X) = 0,5, temos Var(X) = 1/2² = 0,25. Então E(X²) = 0,25 + 0,5² = 0,25 + 0,25 = 0,50. Por isso o gabarito é a alternativa C. Em resumo: a banca quer ver se você sabe conectar média, variância e momento de segunda ordem da Exponencial. Nada de mistério, só a fórmula certa na hora certa.