Considere a seguinte amostra de 7 números inteiros positivos: 3, 3, 6, 3, x, 5, 11. Sabe-se que a média dessa amostra também é um número inteiro. Sendo S a soma da moda, da mediana e da média dessa amostra, o menor valor possível de S é
- A)11.
Errada, porque 11 não é o menor valor possível de S quando você escolhe o menor x que torna a média inteira.
- B)12.
Certa, pois com x = 4 a média fica inteira, a mediana é 4 e a moda é 3, resultando em S = 12.
- C)13.
Errada, porque há uma escolha menor de x que atende à condição da média inteira e produz soma menor.
- D)14.
Errada, pois a soma 14 não é a menor possível depois de verificar a divisibilidade da média por 7.
- E)15.
Errada, porque valores maiores de x aumentam a média e podem alterar a mediana, elevando S.
Gabarito: B
Aqui a ideia central é olhar para três coisas na amostra: moda, mediana e média. A moda é o valor que mais aparece; como o 3 já surge 3 vezes, ele tende a ser a moda, a menos que x também repita 3 vezes, o que não acontece aqui porque a amostra tem só 7 termos e x é um único número. A mediana, em 7 valores, é o 4º da lista em ordem crescente. Já a média precisa ser inteira, então a soma total dos 7 números tem de ser múltipla de 7. Somando os conhecidos, temos 3 + 3 + 6 + 3 + 5 + 11 = 31. Logo, a soma total é 31 + x. Para a média ser inteira, 31 + x precisa ser divisível por 7. Como 31 deixa resto 3 na divisão por 7, x deve deixar resto 4. Os menores valores positivos com essa forma são 4, 11, 18, ... Agora vem o truque esperto: como a questão pede o menor valor de S, você testa o menor x possível, que é 4. Ordenando a amostra, fica 3, 3, 3, 4, 5, 6, 11. Então a mediana é 4, a moda é 3 e a média é (31 + 4)/7 = 5. Portanto, S = 3 + 4 + 5 = 12. Assim, o menor valor possível de S é 12, que corresponde à alternativa B. É aquela questão clássica em que a conta é simples, mas só vence quem lembra de verificar a condição da média inteira antes de sair escolhendo x qualquer.