O número de blocos de concreto vendidos por hora em uma loja de materiais de construção segue uma distribuição Poisson com taxa v > 0. Supondo que as vendas a cada hora são independentes, a probabilidade de não observarmos nenhuma venda em cinco horas é:
- A)e^-5*v;
Correta, porque em 5 horas o parametro vira 5v e, na Poisson, P(X=0)=e^{-5v}.
- B)1- e^-5*v;
Errada, porque 1 - e^{-5v} é a probabilidade de ocorrer pelo menos uma venda, e não nenhuma.
- C)1- e^-5/v;
Errada, porque o parametro da Poisson cresce com o tempo, então não faz sentido dividir por 5.
- D)e^-5/v;
Errada, porque a expressão usa 5/v, invertendo indevidamente a taxa em vez de multiplicá-la pelo tempo.
- E)1- e^-sqrt(5*v).
Errada, porque raiz quadrada não entra na agregacao temporal da Poisson; o parametro continua sendo 5v.
Gabarito: A
A distribuição de Poisson modela o número de ocorrencias em um intervalo de tempo, quando os eventos acontecem de forma independente e com taxa media constante. Aqui, a taxa é v por hora, então em 5 horas o parametro da Poisson vira 5v. Esse é o pulo do gato: em Poisson, a taxa cresce proporcionalmente ao tempo observado. Se X representa o numero de vendas em 5 horas, então X segue Poisson(5v). A probabilidade de não ocorrer nenhuma venda é P(X=0). Na Poisson, isso vale P(X=0)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^0}{0!}=e^{-\lambda}. Como \lambda=5v, fica e^{-5v}. Por isso o gabarito é a alternativa A. Nada de subtrair de 1 aqui, porque a questão pede exatamente o evento "nenhuma venda", isto é, zero ocorrencias. O "1 -" aparece quando voce quer o complemento, como "pelo menos uma venda". Resumo de prova: taxa por unidade de tempo vezes o tempo total = novo parametro. Depois, para zero ocorrencias, é só aplicar a formula básica da Poisson. Simples, direto e sem drama matematico.