Sabe-se que a variância da variável aleatória X é igual a 8, enquanto a da variável aleatória Y é 2. Além disso, a variância de X-Y é nula. Então, a covariância entre X e Y vale:
- A)0;
Errada, porque a covariância não é zero: se fosse, a variância de X - Y seria 8 + 2 = 10, e não nula.
- B)1;
Errada, pois Cov(X, Y) = 1 não zera a variância da diferença; ainda sobraria muita variabilidade.
- C)3;
Errada, porque Cov(X, Y) = 3 também é insuficiente para tornar Var(X - Y) igual a zero.
- D)5;
Certa, pois pela fórmula Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y), temos 0 = 8 + 2 - 2Cov, então Cov(X, Y) = 5.
- E)7.
Errada, porque Cov(X, Y) = 7 faria a variância de X - Y ficar negativa na conta algébrica, o que denuncia que o valor não serve aqui.
Gabarito: D
Quando você vê variância e covariância na mesma questão, pense na fórmula de expansão da variância da diferença: Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y). Ela é a chave aqui e aparece sempre que a banca mistura duas variáveis com uma relação linear simples. Não tem mistério: é só substituir os valores e isolar a covariância. No enunciado, Var(X) = 8, Var(Y) = 2 e Var(X - Y) = 0. Então, 0 = 8 + 2 - 2Cov(X, Y). Somando as variâncias, temos 10, logo 2Cov(X, Y) = 10. Portanto, Cov(X, Y) = 5. Isso mostra que X e Y caminham juntas de forma perfeitamente compensada: a diferença entre elas não varia nada, então a covariância precisa ser positiva e alta o suficiente para zerar a variância da diferença. Em outras palavras, quando uma sobe, a outra sobe junto, com ajuste perfeito. A alternativa correta é a D. Em provas, essa fórmula é tratada como resultado básico de estatística descritiva e probabilidade, então vale decorar o esquema: Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) ± 2Cov(X, Y). Aqui, o sinal negativo na diferença é o detalhe que a banca adora usar para confundir.