Foram extraídas, de duas populações normais, distintas, X e Y, duas amostras de 35 elementos cada. A amostra da população X apresentou variância amostral igual a 104, o que produziu um intervalo bilateral de 95% de confiança para a variância amostral de, aproximadamente, [68; 176,8]. A amostra da população Y apresentou média amostral igual a 5 e coeficiente de variação amostral igual a 2. Considerando todas as informações acima, o intervalo bilateral de 95% de confiança aproximado, para a variância da amostra oriunda da população Y, é de:
- A)[42,5; 110,5];
Errada, porque corresponde a uma escala de variância menor do que a indicada pelo coeficiente de variação da amostra Y.
- B)[65,4; 170];
Certa, pois ao converter o coeficiente de variação em desvio-padrão e depois em variância, o intervalo de X se reajusta para aproximadamente [65,4; 170].
- C)[72,5; 180,8];
Errada, porque superestima o intervalo e não respeita a proporção entre as variâncias amostrais de X e Y.
- D)[75,5; 182,5];
Errada, porque também está acima do resultado proporcional esperado e não bate com a variância amostral de Y.
- E)[82,5; 190].
Errada, porque leva a um intervalo ainda mais alto, incompatível com a variância amostral obtida a partir do CV informado.
Gabarito: B
Quando a população é normal, o intervalo de confiança para a variância usa a distribuição qui-quadrado. A ideia prática é simples: para o mesmo tamanho de amostra, o intervalo da variância cresce ou encolhe na mesma proporção da variância amostral. Aqui, como as duas amostras têm n = 35, os mesmos quantis do qui-quadrado valem para as duas. Na amostra de X, a variância amostral foi 104 e o intervalo de 95% ficou aproximadamente [68; 176,8]. Isso funciona como uma "régua": se a variância amostral muda, o intervalo muda na mesma proporção. Para Y, a média amostral é 5 e o coeficiente de variação amostral é 2. Em linguagem de prova, isso indica desvio-padrão amostral igual a 10, porque CV = s / média, então s = 2 x 5 = 10. Logo, a variância amostral de Y é 10² = 100. Como o intervalo de X foi calculado para 104, basta ajustar proporcionalmente: [68 x 100/104; 176,8 x 100/104], o que dá aproximadamente [65,4; 170]. Portanto, o gabarito correto é a alternativa B. É um daqueles casos em que a banca quer que você enxergue o atalho matemático sem perder tempo decorando conta longa: mesma amostra, mesma lógica, só muda a variância amostral.