Seja uma amostra aleatória {2,2,4,4} extraída de uma variável populacional X que segue distribuição com média µ e variância σ2. São estimativas não viesadas para µ e σ2, respectivamente,
- A)3 e 0.
A media 3 esta correta, mas a variancia 0 esta errada, porque a dispersao dos dados nao e nula.
- B)3 e 4/3.
Correta: a media amostral e 3 e a variancia nao viesada, com divisor n - 1, e 4/3.
- C)3 e 1.
A media 3 esta correta, mas a variancia 1 esta errada, pois a estimativa nao viesada exige a correcao pelo n - 1.
- D)4 e 1.
A media 4 esta errada, porque a media dos quatro valores e 3, embora a variancia 1 tambem nao seja a adequada.
- E)4 e 4/3.
A media 4 esta errada, e a variancia 4/3 ate aparece, mas a estimativa da media nao bate com a amostra.
Gabarito: B
Quando voce quer estimar a media populacional µ, a escolha mais natural e a media amostral. Ela soma os valores observados e divide pelo numero de dados, funcionando como um estimador nao viesado de µ. Aqui, na amostra {2, 2, 4, 4}, a media amostral e (2 + 2 + 4 + 4)/4 = 3. Para a variancia populacional σ², o detalhe importante e que a formula nao viesada usa o denominador n - 1, e nao n. Isso corrige o fato de a amostra tender a subestimar a variabilidade real da populacao. Em prova, esse e um ponto classico que a banca adora cobrar, porque muita gente calcula a variancia “normal” e escorrega no divisor. Fazendo as contas: os desvios em relacao a media 3 sao -1, -1, 1 e 1. Elevando ao quadrado, voce tem 1, 1, 1 e 1, cuja soma e 4. Como a amostra tem tamanho 4, a estimativa nao viesada da variancia e 4/(4 - 1) = 4/3. Assim, as estimativas nao viesadas para µ e σ² sao, respectivamente, 3 e 4/3. O gabarito B esta correto porque usa a media amostral para a media populacional e a variancia amostral corrigida por n - 1 para estimar a variancia populacional.