Considere uma amostra aleatória simples, Xi (ou seja, os Xi são independentes e identicamente distribuídos), de tamanho n, da distribuição geométrica, de tal forma que: P(X = x) = p (1 − p)x−1 , x = 1,2,3, … O estimador de máxima verossimilhança para p é 1/x. O estimador de máxima verossimilhança para P(X > 1) é:
- A)1/x2 + 2/x - 1;
Errada, porque 1/x2 + 2/x - 1 nao corresponde a 1-p nem a uma substituicao correta do EMV.
- B)1/x - 1;
Errada, pois 1/x - 1 tem sinal invertido e nao representa uma probabilidade valida para P(X>1).
- C)1/x;
Errada, porque 1/x e o EMV de p, nao de P(X>1), que depende de 1-p.
- D)1 - 1/x;
Certa, pois P(X>1)=1-p e, pela invariancia do EMV, basta substituir p por 1/x.
- E)1 - 2/x + 1/x2.
Errada, porque 1 - 2/x + 1/x2 nao vem da funcao 1-p e parece uma expansao indevida.
Gabarito: D
A ideia aqui é bem clássica em inferência: primeiro você estima o parâmetro da distribuição, depois substitui esse valor na função de interesse. Isso é o famoso principio da invariancia do estimador de maxima verossimilhanca. Ou seja, se o EMV de p e 1/x, então para qualquer funcao de p voce usa a mesma regra de substituicao. Nesta distribuicao geometrica, com P(X=x)=p(1-p)^(x-1), a probabilidade de X ser maior que 1 e simplesmente a chance de nao ocorrer sucesso na primeira tentativa. Logo, P(X>1)=1-p. Nao tem misterio: se nao aconteceu no primeiro giro, sobrou o complemento. Agora vem a parte pratica: como o EMV de p foi dado como 1/x, basta trocar p por esse estimador na expressao 1-p. Assim, o EMV de P(X>1) fica 1 - 1/x. Portanto, o gabarito D esta correto. A banca quer que voce reconheca a invariancia do EMV e nao tente reinventar a roda. Em concurso, esse tipo de questao costuma cobrar exatamente isso: estimou o parametro, aplica na funcao e pronto.