A variável aleatória X tem distribuição normal com média 2 e variância 1. Considere a transformação Y = 2*(X – 2). É correto afirmar que, aproximadamente:
- A)Pr(-1/2 <= Y <= 1/2 ) = 95%;
Errada, porque o intervalo de -1/2 a 1/2 e muito menor que 1 desvio-padrao de Y, entao nao corresponde a 95%.
- B)Pr(-1/2 <= Y <= 1/2) = 68%;
Errada, porque -1/2 a 1/2 tambem nao representa 68% da distribuicao de Y; o desvio-padrao de Y e 2, nao 1/2.
- C)Pr(-2 <= Y <= 2 ) = 95%;
Errada, pois -2 a 2 em uma normal com desvio-padrao 2 nao corresponde a 95%, e sim a cerca de 68%.
- D)Pr(-2 <= Y <= 2 ) = 68%;
Certa, porque Y tem media 0 e desvio-padrao 2, entao o intervalo [-2, 2] e aproximadamente 1 desvio-padrao da media, o que concentra cerca de 68% da probabilidade.
- E)Pr(-sqrt(2) <= Y <= sqrt(2)) = 68%.
Errada, porque +/- raiz de 2 nao e 1 desvio-padrao de Y, entao a probabilidade associada nao e 68%.
Gabarito: D
Quando voce faz uma transformacao linear em uma normal, ela continua normal. Aqui, X tem media 2 e variancia 1, entao desvio-padrao 1. A transformacao Y = 2(X - 2) primeiro centraliza X em torno de 0 e depois dobra a escala. Resultado: Y fica com media 0 e variancia 4, logo desvio-padrao 2. Agora vem o truque classico de prova: usar a regra empirica da normal. Aproximadamente 68% dos valores ficam dentro de 1 desvio-padrao da media, e cerca de 95% dentro de 2 desvios-padrao. Como Y tem media 0 e desvio-padrao 2, o intervalo de 1 desvio-padrao e de -2 ate 2. Entao Pr(-2 <= Y <= 2) e aproximadamente 68%. E por isso o gabarito e a letra D. A banca costuma cobrar isso com um detalhe algébrico simples e um pedido de leitura correta do desvio-padrao, para ver se voce nao troca 1 por 2 no calor da prova.