Seja X1, uma variável aleatória com distribuição normal de probabilidade, de média 2 e desvio-padrão 4. Seja X2, uma variável aleatória com distribuição normal de probabilidade de média 1 e desvio-padrão igual a 2. É correto afirmar que:
- A)P{X1<3,6}=P{X2<1,8};
Certa, porque os dois valores têm o mesmo escore padronizado (z = 0,4), então as probabilidades à esquerda coincidem.
- B)P{X1<3,6}=1-P{X2<1,8};
Errada, porque as duas probabilidades não são complementares; elas são iguais após a padronização.
- C)P{X1<1,8}=P{X2<3,6};
Errada, pois 1,8 em X1 e 3,6 em X2 não geram o mesmo z, então não dá para igualar as probabilidades.
- D)P{X1<1,8}=1-P{X2<3,6};
Errada, porque também usa valores que não correspondem ao mesmo escore padronizado e ainda mistura complemento sem justificativa.
- E)P{X1<-1,8}=P{X2<-3,6}.
Errada, porque os pontos negativos apresentados não produzem a mesma área acumulada quando padronizados.
Gabarito: A
Em distribuições normais, o truque clássico é padronizar a variável: subtrai a média e divide pelo desvio-padrão, chegando à normal padrão Z. Assim, probabilidades do tipo P(X < x) viram áreas à esquerda de um mesmo ponto em Z, o que permite comparar variáveis diferentes sem mistério. Aqui, para X1 ~ N(2, 4), temos z = (3,6 - 2)/4 = 0,4. Já para X2 ~ N(1, 2), temos z = (1,8 - 1)/2 = 0,4. Como os dois valores geram o mesmo escore padronizado, as probabilidades são iguais. Então, P(X1 < 3,6) = P(Z < 0,4) e P(X2 < 1,8) = P(Z < 0,4). Logo, a igualdade proposta na alternativa A está correta. Em provas da FGV, esse tipo de questão costuma cobrar exatamente isso: reconhecer que o que manda não é o número bruto, mas o z-score. Resumo de bolso: se dois valores têm o mesmo z, a área à esquerda na normal será a mesma. A conta é rápida, elegante e evita cair em comparações enganosas entre médias e desvios diferentes.