Considere uma variável aleatória X uniformemente distribuída no intervalo [0,1]. A média e a variância de X serão, respectivamente, iguais a
- A)0 e 1/3.
Errada: a média não é 0 e a variância da uniforme em [0,1] não é 1/3.
- B)1 e 1.
Errada: 1 e 1 não podem ser a média e a variância de uma U(0,1), porque a média fica no centro do intervalo.
- C)1/2 e 1/12.
Certa: para X ~ U(0,1), a média é 1/2 e a variância é 1/12.
- D)1/12 e 1.
Errada: 1/12 é a variância, não a média, e a variância não é 1.
- E)1/6 e 1/24.
Errada: esses valores não correspondem às fórmulas da distribuição uniforme em [0,1].
Gabarito: C
Quando uma variável aleatória é uniformemente distribuída em um intervalo, todos os valores dentro dele têm a mesma chance de ocorrer. No caso de X ~ U(0,1), o intervalo é de 0 a 1, então a média fica exatamente no meio do caminho: 1/2. Isso faz sentido intuitivo: se a distribuição é “equilibrada” de ponta a ponta, o centro é o valor esperado. A variância mede o quanto os valores se espalham em torno da média. Para a distribuição uniforme em [a,b], a fórmula é Var(X) = (b-a)^2/12. Aqui, como b-a = 1-0 = 1, a variância é 1/12. É uma fórmula clássica de Estatística Descritiva e probabilidade básica, muito cobrada em prova porque parece simples, mas exige atenção ao intervalo. Então, em X ~ U(0,1), a média é 1/2 e a variância é 1/12. É por isso que o gabarito é a alternativa C. Se você lembrar que a média da uniforme é o ponto médio e a variância depende do comprimento do intervalo ao quadrado, você mata a questão sem sofrimento.